Kombinacje zbioru; kostka i urny; monety; kostki.

[GothornSinProx]

Witam

Mam małą prośbę. Chciałby aby ktoś sprawdził poprawność rozwiązanych prze ze mnie zadań.

Zadanie 1

Podaj wszystkie jednoelementowe, dwuelementowe i trzyelementowe kombinacje zbioru: {4, 5, 8, 9}

Rozwiązanie

Kombinacje jednoelementowe : {4}, {5}, {8}, {9}.
Kombinacje dwuelementowe : {4, 5}, {4, 8}, {4, 9}, {5, 8}, {5, 9}, {8, 9}.
Kombinacje trzyelementowe : {4, 5, 8}, {4, 5, 9}, {4, 8, 9}, {5, 8, 9}.

Zadania 2

Mamy dwie urny z kulami: w pierwszej znajdują się trzy kule białe i trzy czarne, w drugiej – dwie białe i sześć czarnych. Rzucamy kostką: jeśli wypadnie szóstka, to losujemy kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie – z drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarne.

Rozwiązanie



\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} +\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{8} = \frac{1}{12} + \frac{5}{8} = \frac{2}{24} + \frac{15}{24} = \frac{17}{24}}\)

Zadanie 3

Rzucamy trzema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

a) dokładnie jednej reszki,
b) dokładnie dwóch reszek,
c) co najmniej jednego orła.

Rozwiązanie

\(\displaystyle{ \Omega}\) = {OOO, ROO, ORO, OOR, RRO, ROR, ORR, RRR}

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) = 8

a)

A = {ROO, ORO, OOR}
\(\displaystyle{ \stackrel{=}{A}}\) = 3

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{8}}\)

b)

A = {RRO, ROR, ORR}
\(\displaystyle{ \stackrel{=}{A}}\) = 3

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{8}}\)

c)

A = {OOO, ROO, ORO, OOR, RRO, ROR, ORR}
\(\displaystyle{ \stackrel{=}{A}}\) = 7

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{7}{8}}\)

Zadanie 4

Rzucamy dwiema kostkami do gry. Za zdarzenie elementarne uznajemy parę będącą wynikiem rzutu dwiema kostkami. Przyjmując, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:

a) suma wyrzuconych oczek na obu kostkach będzie równa 5,
b) iloczyn wyrzuconych oczek będzie liczbą pierwszą,
c) na każdej kostce wypadną mniej niż 3 oczka.

Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}}\) = 36

a)

A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
\(\displaystyle{ \stackrel{=}{A}}\) = 4

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}}\)

b)

A = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (3, 1), (5, 1)}
\(\displaystyle{ \stackrel{=}{A}}\) = 6

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}}\)

c)

A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
\(\displaystyle{ \stackrel{=}{A}}\) = 4

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}}\)

Zastanów się chwilę, nazywając temat. Zapoznaj się z Regulaminem.

[lorakesz]

Zadanie 1. Dobrze
Zadanie 2. Dobrze
Zadanie 3. Dobrze
Zadanie 4. Dobrze

[Gotta]

Zadanie 4
b) a zdarzenie (1,1)?

Reszta w porządku

[lorakesz]

Zadanie 4
b) a zdarzenie (1,1)?

Reszta w porządku

1 nie jest liczbą pierwszą

[Gotta]

, faktycznie

[GothornSinProx]

Dzięki za pomoc

[MPieniek]

Witam, mam pytanie do zadania 4.a, które już zostało rozwiązane:
Rzucamy dwiema kostkami do gry. Za zdarzenie elementarne uznajemy parę będącą wynikiem rzutu dwiema kostkami. Przyjmując, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) suma wyrzuconych oczek na obu kostkach będzie równa 5,
Czy jest wzór by nie trzeba było rozpisywać A?
A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}= 4 i dalej rozwiązanie 4/36...

Chodzi mi o typ zadania: Oszacuj prawdopodobieństwa, że przy rzucie dwóch kostek do gry otrzymamy następujące sumy oczek na obydwu kostkach: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Jeżeli rozpiszemy A dla każdego przypadku tak jak w powyższym przykładzie, to obliczenie prawdopodobieństwa jest łatwe, lecz gdy nie chcę rozpisać A, tylko je obliczyć? Jaki jest wzór na A?
5 lat przerwy w matematyce...