26 książek na półce, ustawienie dwóch z nich.

[Zychutsw]

Na półce ułożono obok siebie 26 książek, w tym "Iliadę" i "Odyseję". Jakie jest prawdopodobienstwo ze pomiedzy tymi dwiema ksiazkami bedzie dokładnie 5 książek??
Bardzo prosze o rozwiązanie i o wytłumaczenie tego

Zastanów się, czy temat "Oblicz prawdopodobieństwo" wiele mówi w dziale Prawdopodobieństwo. Zapoznaj się z Regulaminem.

[darlove]

Na półce ułożono obok siebie 26 książek, w tym "Iliadę" i "Odyseję". Jakie jest prawdopodobienstwo ze pomiedzy tymi dwiema ksiazkami bedzie dokładnie 5 książek??
Bardzo prosze o rozwiązanie i o wytłumaczenie tego

Zalozmy, ze Iliada jest przed Odyseja i na \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu. Zatem Odyseja musi byc na miejscu \(\displaystyle{ k+5+1=k+6}\). Ile jest takich ustawien, ze wlasnie tak jest? Reszte ksiazek trzeba spermutowac dowolnie na pozostalych miejscach, czyli w takim ustawieniu jest \(\displaystyle{ (26-2)!}\). Dobra. A teraz pytanie: Ile miejsc moze zajac w ten sposob Odyseja? No, tyle, zeby Iliada nie wyskoczyla poza ostatnie, 26. miejsce. Zatem \(\displaystyle{ k+6 \le 26 \Leftrightarrow k \le 20}\). Zatem jest 20 ustawien, gdzie Iliada poprzedza Odyseje. Kazde takie ustawienie rozklada sie na 24! roznych permutacji pozostalych ksiazek. Zatem w sumie jest \(\displaystyle{ 20\cdot 24!}\). Ale teraz Odyseja moze w ten sam sposob poprzedzac Iliade. Zatem trzeba to pomnozyc przez 2: \(\displaystyle{ 2\cdot 20\cdot 24!}\). Z tego \(\displaystyle{ \Pr(\text{5 ksiazek miedzy})=\frac{2\cdot 20\cdot 24!}{26!}=\frac{40}{25\cdot 26}.}\)