Rozkład zmiennej losowej

[lukabesoin]

Znalezc rozklad zmiennej losowej Y=sin(X)
jeśli X ma rozkład wykładniczy z parametrem k

[bstq]

\(\displaystyle{ F_{Y}(t)=P\left(Y\le t\right)=P\left(\sin\left(X\right)\le t\right)=\begin{cases}
0 & t<-1\\
P\left(X\le\text{arcsin}\left(t\right)\right) & -1\le t<1\\
1 & t\ge1\end{cases}=\begin{cases}
0 & t<-1\\
F_{X}\left(\text{arcsin}\left(t\right)\right) & -1\le t<1\\
1 & t\ge1\end{cases}=\begin{cases}
0 & t<0\\
1-e^{-k\cdot\text{arcsin}\left(t\right)} & 0\le t<1\\
1 & t\ge1\end{cases}}\)
nie wiem czy to jest dobrze...-- 4 czerwca 2009, 22:07 --nie proponowałbym tego inaczej liczyc, bo funkcja odwrotna do sinusa jest okreslona tylko w przedziale <-1,1>

[lukabesoin]

Też tak liczyłem tylko ze dystrybuanta nie jest ciągła w t=1 a jest to dystrybuanta rozkładu typu ciągłego

[gmpkm]

A ja mam jeszcze pytanie, czy obłożenie nierówności funkcją malejącą nie psuje nam czegoś? Np. 0<2, ale jeśli obłożymy to obustronnie injekcja e^ -(...), to mamy 1=e^0 < e^(-2)

[kuch2r]

A ja mam jeszcze pytanie, czy obłożenie nierówności funkcją malejącą nie psuje nam czegoś? Np. 0<2, ale jeśli obłożymy to obustronnie injekcja e^ -(...), to mamy 1=e^0 < e^(-2)

a w którym momencie przekształceń pojawia się wspomniana funkcja malejąca..??

[Maciej87]

Nie, to jest wszystko całkiem źle...
Trzeba rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \sin X \leqslant t}\) czyli znaleźć przeciwobraz.
Dla przykładu co wyjdzie z \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\)?
Rozwiązaniem \(\displaystyle{ \sin(X)>t}\) w \(\displaystyle{ X}\) dodatnich jest
\(\displaystyle{ \bigcup\limits_{k\geqslant 0}(\beta,\pi-\beta)+2k\pi}\)
gdzie \(\displaystyle{ \beta=\arcsin t}\)
ogon rozkładu jest równy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\sin X > t\right) =
-{\frac {{{\rm e}^{2\,b\,\pi }} \left( -{{\rm e}^{-b\,\beta}}+{{\rm e}
^{-b\, \left( \pi -\beta \right) }} \right) }{{{\rm e}^{2\,b\,\pi }}-1
}}}\)

[gmpkm]

A ja mam jeszcze pytanie, czy obłożenie nierówności funkcją malejącą nie psuje nam czegoś? Np. 0<2, ale jeśli obłożymy to obustronnie injekcja e^ -(...), to mamy 1=e^0 < e^(-2)

a w którym momencie przekształceń pojawia się wspomniana funkcja malejąca..??

Sorry, arcsin jest rosnący