Dystrybuanta i rozkład

[wektorek]

\(\displaystyle{ }\)

Niech Ω\(\displaystyle{ ={0,1,2,3}}\) oraz \(\displaystyle{ P({w})= \frac{1}{4}}\) dla każdego \(\displaystyle{ w \inΩ}\)Ω. Znaleźć rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y(w)=cos(0.5piw)}\)

[bstq]

\(\displaystyle{ P\left(Y=t\right)=P\left(\left\{ \omega\in\Omega:\quad Y\left(\omega\right)=t\right\} \right)=P\left(\left\{ \omega\in\Omega:\quad\cos\left(\frac{\pi\omega}{2}\right)=t\right\} \right)=\begin{cases}
\frac{1}{4} & t=-1\\
\frac{1}{4}+\frac{1}{4} & t=0\\
\frac{1}{4} & t=1\end{cases}=\begin{cases}
\frac{1}{4} & t=-1\\
\frac{1}{2} & t=0\\
\frac{1}{4} & t=1\end{cases}}\), bo:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi\cdot0}{2}\right)=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi\cdot1}{2}\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi\cdot2}{2}\right)=-1}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi\cdot3}{2}\right)=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ Y:\; P\left(Y=-1\right)=P\left(Y=1\right)=2\cdot P\left(Y=0\right)=\frac{1}{4}}\)