Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę:
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}0&\mbox{, dla }x \le -1\\
\frac{x+1}{4}&\mbox{, dla }-1<x \le 3\\
1&\mbox{, dla } x>3\end{cases}}\)
Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=|X|}\)
Proszę o rozwiązanie krok po kroku.
Znaleźć dystrybuantę
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Znaleźć dystrybuantę
\(\displaystyle{ X\sim F_{X}(x)=\begin{cases}
0 & \mbox{, dla }x<-1\\
\frac{x+1}{4} & \mbox{, dla }-1\le x<3\\
1 & \mbox{, dla }3\le x\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ F_{Y}\left(t\right)=P\left(Y\le t\right)=P\left(\left|X\right|\le t\right)=P\left(-t\le X\le t\right)\overset{\text{\ensuremath{\star}.}}{=}\int_{-t}^{t}dF_{X}(x)=\int_{-\infty}^{t}dF_{X}(x)-\int_{-\infty}^{-t}dF_{X}(x)\overset{\star\star}{=}F_{X}\left(t\right)-F_{X}(-t)}\),
gdy \(\displaystyle{ t\ge0}\)
\(\displaystyle{ \star}\)z definicji
\(\displaystyle{ \star\star\text{jeśli }F\text{ absolutnie ciagła}}\)
\(\displaystyle{ =\begin{cases}
0 & t<0\\
F_{X}\left(t\right)-F_{X}(-t) & t\ge0\end{cases}\overset{\star}{=}\begin{cases}
0 & t<0\\
\frac{t+1}{4}-\frac{-t+1}{4} & 0\le t<1,-1<-t\le0\\
\frac{t+1}{4}-0 & 1\le t<3,-3<-t\le-1\\
1-0 & t\ge3\end{cases}=\begin{cases}
0 & t<0\\
\frac{t}{2} & 0\le t<1,-1<-t\le0\\
\frac{t+1}{4} & 1\le t<3,-3<-t\le-1\\
1 & 3\le t\end{cases}}\)-- 4 czerwca 2009, 19:56 --dodatkowo powiem, że równość pomiędzy \(\displaystyle{ \star}\) i \(\displaystyle{ \star\star}\) jest przy założeniu, że te całki maksymalnie wynoszą 1, czyli są skończone
0 & \mbox{, dla }x<-1\\
\frac{x+1}{4} & \mbox{, dla }-1\le x<3\\
1 & \mbox{, dla }3\le x\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ F_{Y}\left(t\right)=P\left(Y\le t\right)=P\left(\left|X\right|\le t\right)=P\left(-t\le X\le t\right)\overset{\text{\ensuremath{\star}.}}{=}\int_{-t}^{t}dF_{X}(x)=\int_{-\infty}^{t}dF_{X}(x)-\int_{-\infty}^{-t}dF_{X}(x)\overset{\star\star}{=}F_{X}\left(t\right)-F_{X}(-t)}\),
gdy \(\displaystyle{ t\ge0}\)
\(\displaystyle{ \star}\)z definicji
\(\displaystyle{ \star\star\text{jeśli }F\text{ absolutnie ciagła}}\)
\(\displaystyle{ =\begin{cases}
0 & t<0\\
F_{X}\left(t\right)-F_{X}(-t) & t\ge0\end{cases}\overset{\star}{=}\begin{cases}
0 & t<0\\
\frac{t+1}{4}-\frac{-t+1}{4} & 0\le t<1,-1<-t\le0\\
\frac{t+1}{4}-0 & 1\le t<3,-3<-t\le-1\\
1-0 & t\ge3\end{cases}=\begin{cases}
0 & t<0\\
\frac{t}{2} & 0\le t<1,-1<-t\le0\\
\frac{t+1}{4} & 1\le t<3,-3<-t\le-1\\
1 & 3\le t\end{cases}}\)-- 4 czerwca 2009, 19:56 --dodatkowo powiem, że równość pomiędzy \(\displaystyle{ \star}\) i \(\displaystyle{ \star\star}\) jest przy założeniu, że te całki maksymalnie wynoszą 1, czyli są skończone