Z kwadratu [0,1]x[0,1] wybieramy punkt o współrzędnych (p,q). Jakie jest prawdopodobieństwo, że x^2+px+q=0 nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych?
Określiłem p^2-4g<0 ale dalej nic mi to nie daje.
Prawdopodobieństwo - pole i funcja
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Prawdopodobieństwo - pole i funcja
\(\displaystyle{ x^{2}+px+q=0}\)
Chcemy powiedzieć kiedy \(\displaystyle{ \Delta<0}\)
\(\displaystyle{ p^{2}-4\cdot q\cdot1<0}\)
\(\displaystyle{ p^{2}<4q}\)
\(\displaystyle{ \frac{p^{2}}{4}<q}\) - to sobie można przetłumaczyć: szukamy \(\displaystyle{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}<y}\)
\(\displaystyle{ P\left(\Delta<0\right)=\frac{1-\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}\ge y\right\} }{\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}\right\} }=\frac{1-\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}\ge y\right\} }{1}=1-\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}\ge y\right\} =1-\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{4}dx=1-\left[\frac{1}{12}x^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{11}{12}}\)
(analogia do intuicyjnego pojęcia całki - pole pod krzywą...)
sprawdziłem nawet na wykresie - na oko zgadza się
Chcemy powiedzieć kiedy \(\displaystyle{ \Delta<0}\)
\(\displaystyle{ p^{2}-4\cdot q\cdot1<0}\)
\(\displaystyle{ p^{2}<4q}\)
\(\displaystyle{ \frac{p^{2}}{4}<q}\) - to sobie można przetłumaczyć: szukamy \(\displaystyle{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}<y}\)
\(\displaystyle{ P\left(\Delta<0\right)=\frac{1-\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}\ge y\right\} }{\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}\right\} }=\frac{1-\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}\ge y\right\} }{1}=1-\text{Pole }\left\{ \left(x,y\right)\in\left[0,1\right]^{2}:\;\frac{x^{2}}{4}\ge y\right\} =1-\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{4}dx=1-\left[\frac{1}{12}x^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{11}{12}}\)
(analogia do intuicyjnego pojęcia całki - pole pod krzywą...)
sprawdziłem nawet na wykresie - na oko zgadza się