Prawdopodobieństwo - odcinek

[wektorek]

1)
Z odcinka OA o długości l wylosowano niezależnie dwa punkty B i C. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że długość odcinka BC będzie mniejsza od długości OB.

2)
Na odcinku o długości l wybrano losowo 2 punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między nimi jest mniejsza niż k, gdzie 0<k<l?

[Gotta]

Zadanie 1

Niech \(\displaystyle{ x = |OB|}\), \(\displaystyle{ y=|BC|}\)

\(\displaystyle{ \Omega=\{(x,y):0<x<l, 0<y<l, 0<x+y<l\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (\Omega)=\frac{1}{2} \cdot l \cdot l=\frac{l^2}{2}}\)

A - długość BC jest mniejsza od długości OB

\(\displaystyle{ A=\{(x,y):y<x,0<x<l, 0<y<l, 0<x+y<l\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (A)=\frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{2}=\frac{l^2}{4}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\frac{l^2}{4}}{\frac{l^2}{2}}=\frac{1}{2}}\)



Zadanie 2

Niech \(\displaystyle{ x = |OB|}\), \(\displaystyle{ y=|BC|}\)

\(\displaystyle{ \Omega=\{(x,y):0<x<l, 0<y<l, 0<x+y<l\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (\Omega)=\frac{1}{2} \cdot l \cdot l=\frac{l^2}{2}}\)

A - długość BC jest mniejsza niż k

\(\displaystyle{ A=\{(x,y):y<k,0<x<l, 0<y<l, 0<x+y<l\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (A)=\frac{1}{2}l^2-\frac{1}{2}(l-k)(l-k)=kl-\frac{k^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{kl-\frac{k^2}{2}}{\frac{l^2}{2}}=\frac{2kl-k^2}{l^2}}\)

[wektorek]

Zadanie 1

Niech \(\displaystyle{ x = |OB|}\), \(\displaystyle{ y=|BC|}\)

\(\displaystyle{ \Omega=\{(x,y):0<x<l, 0<y<1, 0<x+y<1\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (\Omega)=\frac{1}{2} \cdot l \cdot l=\frac{l^2}{2}}\)

A - długość BC jest mniejsza od długości OB

\(\displaystyle{ A=\{(x,y):y<x,0<x<l, 0<y<1, 0<x+y<1\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (A)=\frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{2}=\frac{l^2}{4}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\frac{l^2}{4}}{\frac{l^2}{2}}=\frac{1}{2}}\)



Zadanie 2

Niech \(\displaystyle{ x = |OB|}\), \(\displaystyle{ y=|BC|}\)

\(\displaystyle{ \Omega=\{(x,y):0<x<l, 0<y<1, 0<x+y<1\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (\Omega)=\frac{1}{2} \cdot l \cdot l=\frac{l^2}{2}}\)

A - długość BC jest mniejsza niż k

\(\displaystyle{ A=\{(x,y):y<k,0<x<l, 0<y<1, 0<x+y<1\}}\)

\(\displaystyle{ \mu (A)=\frac{1}{2}l^2-\frac{1}{2}(l-k)(l-k)=kl-\frac{k^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{kl-\frac{k^2}{2}}{\frac{l^2}{2}}=\frac{2kl-k^2}{l^2}}\)

Wszystko ładnie, tylko nie wiem jak się tę miarę liczy.
Skąd to 1/2*l*l?

[Gotta]

Narysuj sobie zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ \Omega}\) to w obu zadaniach trójkąt ograniczony osiami układu i prostą \(\displaystyle{ y=l-x}\)

Zbiór \(\displaystyle{ A}\)w zadaniu 1 to trójkąt \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ y=l-x}\) i \(\displaystyle{ x=0}\), a w zadaniu 2 trapez ograniczony prostymi \(\displaystyle{ y=k}\), \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ y=l-x}\).

Miary tych zbiorów to po prostu pola odpowiednich figur.

[wektorek]

Narysuj sobie zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\).
\(\displaystyle{ \Omega}\) to w obu zadaniach trójkąt ograniczony osiami układu i prostą \(\displaystyle{ y=l-x}\)

Zbiór \(\displaystyle{ A}\)w zadaniu 1 to trójkąt \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ y=l-x}\) i \(\displaystyle{ x=0}\), a w zadaniu 2 trapez ograniczony prostymi \(\displaystyle{ y=k}\), \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ y=l-x}\).

Miary tych zbiorów to po prostu pola odpowiednich figur.

W 1) zadaniu według tego co napisałaś y<-x+1 dlatego nie dawało mi to tego pola. Teraz piszesz y=l-x, nie tak tam miało być?

[Gotta]

Przepraszam, już poprawiłam. Oczywiście odcinek jest długości l a nie 1

[wektorek]

Przepraszam, już poprawiłam. Oczywiście odcinek jest długości l a nie 1

Dzięki.