Przestrzeń probalistyczna z prawdopodobieństwem geometryczny

[sopi]

Witam mam problem z tym zadaniem, trochę słabo rozumiem to prawdopodobieństwo gdy mamy do czynienia z jakimiś obszarami na płaszczyźnie, więc o ile to możliwe proszę także o wyjaśnienie rozwiązania

Na przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ \Omega \ = \ \{\omega \ = \ (x,y) \ : \ x^2 \ + \ y^2 \ \leqslant \ 1\}}\) z prawdopodobieństwem geometrycznym definiujemy zmienną losową \(\displaystyle{ R}\) jako odległość punktu \(\displaystyle{ (x,y) \in \Omega}\) od środka koła \(\displaystyle{ (0,0)}\), tzn \(\displaystyle{ R(\omega) \ = \ R(x,y) \ = \ \sqrt{x^2+y^2}}\). Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ R}\) .

[bstq]

\(\displaystyle{ F_{R}\left(t\right)=P\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le t\right)=\begin{cases}
0\qquad t<0 \\
P\left(x^{2}+y^{2}\le t^{2}\right)=\frac{\text{Pole koła o promieniu t}}{\text{Pole koła o promieniu 1}}=\begin{cases}
\frac{\pi\cdot t^{2}}{\pi\cdot1^{2}}=\left(\frac{t}{1}\right)^{2}=t^{2} & 0\le t<1\\
1 & t>1\end{cases}\end{cases}=}\)
\(\displaystyle{ =\begin{cases}
0 & t<0\\
\frac{\pi\cdot t^{2}}{\pi\cdot1^{2}}=\left(\frac{t}{1}\right)^{2}=t^{2} & 0\le t<1\\
1 & t>1\end{cases}}\)

Pisząc taką równość automatycznie zakładamy, że dla t<0 takie prawdopodobieństwo wynosi zero:
\(\displaystyle{ P\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le t\right)=P\left(x^{2}+y^{2}\le t^{2}\right)}\)
bo np.
\(\displaystyle{ P\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le -5\right)=0}\)

[sopi]

Dzięki