Wartość oczekiwana transformacji zmiennej losowej

[sopi]

Witam,

Mam mały problem z tym zadankiem :

Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y \ = \ 1 \ - \ e^{-2X}}\) , gdzie X ma rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ Exp(2)}\). Wykorzystać przy tym rozkład zmiennej losowej X.

[darlove]

Witam,

Mam mały problem z tym zadankiem :

Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y \ = \ 1 \ - \ e^{-2X}}\) , gdzie X ma rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ Exp(2)}\). Wykorzystać przy tym rozkład zmiennej losowej X.

\(\displaystyle{ EY=E(1-e^{-2X})=E(1)-E(e^{-2X})=1-\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\cdot (2e^{-2x})\,dx}\), a ostatnia calka jest rowna \(\displaystyle{ \frac{1}{2}4\int_{0}^{\infty}e^{-4x}\,dx}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}.}\) Czyli \(\displaystyle{ EY=\frac{1}{2}.}\)

Aby obliczyc wariancje, wystarcza obliczyc \(\displaystyle{ EY^2.}\)

\(\displaystyle{ EY^2=E\left((1-e^{-2X})^2\right)=E(1-2e^{-2X}+e^{-4X})=1-2E(e^{-2X})+E(e^{-4X})=1-2\cdot\frac{1}{2}+\int_{0}^{\infty}e^{-4x}(2e^{-2x})\,dx=2\int_{0}^{\infty}e^{-6x}\,dx=\frac{1}{3}\cdot 6\int_{0}^{\infty}e^{-6x}\,dx=\frac{1}{3}.}\)

Zatem szukana wariancja wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\).