Rozkład jednostajny

[olkab]

Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ U}\) na rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\).Dla ustalonej liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\lfloor nU \rfloor+1}\)
Rozkład jednostajny \(\displaystyle{ U}\) na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest oczywisty.Ale jak znaleźć rozkład \(\displaystyle{ Y}\)?

[bstq]

\(\displaystyle{ \left\lfloor X\right\rfloor =t\Leftrightarrow t\le X<t+1}\)
\(\displaystyle{ P\left(Y=t\right)=P\left(\left\lfloor nU\right\rfloor +1=t\right)=P\left(\left\lfloor nU\right\rfloor =t-1\right)=P\left(t-1\le nU<t\right)=P\left(\frac{t-1}{n}\le U<\frac{t}{n}\right)=F_{U}\left(\frac{t}{n}\right)-F_{U}\left(\frac{t-1}{n}\right)=\frac{1}{n}}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ \left\lfloor nU\right\rfloor =t-1}\), zatem t musi mieć wartość całkowitą!
\(\displaystyle{ t=0,-1,-2,-3,\ldots\Rightarrow F_{U}\left(\frac{t}{n}\right)-F_{U}\left(\frac{t-1}{n}\right)=0-0=0}\)
\(\displaystyle{ t=1,2,\ldots,n\Rightarrow P\left(Y=t\right)=\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ t=n+1,n+2,\ldots\Rightarrow F_{U}\left(\frac{t}{n}\right)-F_{U}\left(\frac{t-1}{n}\right)=1-1=0}\)

Zatem \(\displaystyle{ Y\sim\mathcal{U}\left(\left\{ 1,2,3,\ldots,n\right\} \right)}\) (rozkład jednostajny dyskretny na punktach \(\displaystyle{ {1,2,3,...,n}}\))

[olkab]

Czyli \(\displaystyle{ F_{y}(t)= frac{1}{n} chi_{[1,2)}}\)?

[darlove]

Czyli \(\displaystyle{ F_{y}(t)= frac{1}{n} chi_{[1,2)}}\)?

Nie. Popatrz na to:

Zmienna U spelnia nierownosc (wszystko z prawd. 1)

\(\displaystyle{ 0\leq U<1\\
0\leq nU<n\\
0\leq \lfloor nU\rfloor <n\\
1\leq\lfloor nU\rfloor + 1<n+1\\
1\leq\lfloor nU\rfloor + 1\leq n.}\)

Zatem legalne wartosci dla \(\displaystyle{ Y}\) to \(\displaystyle{ 1,2,\ldots n}\).
Policzmy rozklad

\(\displaystyle{ \Pr(Y=k) = \Pr(\lfloor nU\rfloor + 1=k) = \Pr(\lfloor nU\rfloor=k-1),}\)

a teraz

\(\displaystyle{ \lfloor nU\rfloor=k-1 \equiv k-1\leq nU<k \equiv \frac{k-1}{n}\leq U<\frac{k}{n},}\)

a to znaczy, ze nasze prawd. jest rowne

\(\displaystyle{ \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}1\,dx = \frac{1}{n}.}\)

Rozklad \(\displaystyle{ Y}\) jest rozkladem jednostajnym na zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,\ldots,n\}}\).