Witam
mam pytanie co do pewnego zadania ktore nie bardzo wiem jak ukuć ^^
a więc:
Dwie osoby rzucają uczciwą monetą, przy czym każda z nich
wykonuje n rzutów. Wypisz wyrażenie na prawdopodobieństwo, że
obie zarejestrują jednakową liczbę orłów (jako formuła). Oblicz
prawdopodobieństwo i narysuj jego wykres dla n=1,2,3,..,10.
Wskazówka: to rozkład dwumianowy
W sumie chodzi mi tylko o to, jak skuć to wyrażenie na prawdopodobienstwo;d jesli to rozklad dwumianowy, to co będzie sukcesem w pojedynczej probie?:D a moze to inaczej?
Dzieki!
: )
joł;p^^
Rzut monetą 2 osób [ rozklad dwumianowy ]
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Rzut monetą 2 osób [ rozklad dwumianowy ]
\(\displaystyle{ A_k}\) - Osoba pierwsza wyrzuciła \(\displaystyle{ k}\) orłów
\(\displaystyle{ B_k}\) - Osoba pierwsza wyrzuciła \(\displaystyle{ k}\) orłów
\(\displaystyle{ A}\) - Obie osoby otrzymały taką samą ilość orłów
\(\displaystyle{ A=\bigcup_{k=0}^n A_kB_k}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P\left (\bigcup_{k=0}^n A_kB_k\right )=\sum_{k=0}^nP(A_k)P(B_k)=
\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left (\frac{1}{2}\right )^k\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{n-k}\cdot {n\choose k}\left (\frac{1}{2}\right )^k\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{n-k}=\\
\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2\left (\frac{1}{2}\right )^{2k}\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{2n-2k}=
\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2=\frac{1}{2^{2n}}\cdot {2n\choose n}}\)
\(\displaystyle{ B_k}\) - Osoba pierwsza wyrzuciła \(\displaystyle{ k}\) orłów
\(\displaystyle{ A}\) - Obie osoby otrzymały taką samą ilość orłów
\(\displaystyle{ A=\bigcup_{k=0}^n A_kB_k}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P\left (\bigcup_{k=0}^n A_kB_k\right )=\sum_{k=0}^nP(A_k)P(B_k)=
\sum_{k=0}^n {n\choose k}\left (\frac{1}{2}\right )^k\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{n-k}\cdot {n\choose k}\left (\frac{1}{2}\right )^k\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{n-k}=\\
\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2\left (\frac{1}{2}\right )^{2k}\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{2n-2k}=
\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2=\frac{1}{2^{2n}}\cdot {2n\choose n}}\)
-
darlove
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 20 gru 2007, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Pomógł: 39 razy
Rzut monetą 2 osób [ rozklad dwumianowy ]
Ok. Niech \(\displaystyle{ X_n,Y_n}\) beda zmiennymi losowymi, ktore okreslaja, ile orlow wypadlo pierwszemu i drugiemu, odpowiednio. Sa to zmienne niezalezne i maja, oczywiscie, ten sam rozklad \(\displaystyle{ \mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}\). Prawdopodobienstwo, ze obaj dostana te sama liczbe orlow liczymy tak:
\(\displaystyle{ \Pr(X_n=Y_n)= \sum_{k=0}^{n}\Pr(X_n=Y_n=k)=\sum_{k=0}^{n}\Pr(X_n=k\,\wedge\,Y_n=k)=\sum_{k=0}^{n}\Pr(X_n=k)\,\cdot\,\Pr(Y_n=k)=\sum_{k=0}^{n}{\Pr}^2(X_n=k)=\sum_{k=0}^{n} \left({n \choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2=\frac{1}{4^n}\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} {n \choose {n-k}}=\frac{1}{4^n} {2n \choose n}}\).
Z tego wynika np., ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{4^n} {2n \choose n}\leq 1}\),
co prowadzi do nierownosci
\(\displaystyle{ (2n)!\leq 4^nn!^2}\).
Sprobuj tego dowiesc przez indukcje.
\(\displaystyle{ \Pr(X_n=Y_n)= \sum_{k=0}^{n}\Pr(X_n=Y_n=k)=\sum_{k=0}^{n}\Pr(X_n=k\,\wedge\,Y_n=k)=\sum_{k=0}^{n}\Pr(X_n=k)\,\cdot\,\Pr(Y_n=k)=\sum_{k=0}^{n}{\Pr}^2(X_n=k)=\sum_{k=0}^{n} \left({n \choose k}\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2=\frac{1}{4^n}\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} {n \choose {n-k}}=\frac{1}{4^n} {2n \choose n}}\).
Z tego wynika np., ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{4^n} {2n \choose n}\leq 1}\),
co prowadzi do nierownosci
\(\displaystyle{ (2n)!\leq 4^nn!^2}\).
Sprobuj tego dowiesc przez indukcje.