Błąd przy wyznaczaniu dystrybuanty

[alek26]

Witam,

Muszę wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej X o gęstości wyrażonej poniżej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \le -1\\ \frac{1}{2} -1 \ \ \ \ -1 < x \le 0 \\ x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 < x \le 1 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 0 \end{cases}}\)

Prawidłowa odpowiedź jest następująca:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \le -1 \\ \frac{1}{2}(x + 1) \ \ \ \ \ -1 < x \le 0 \\ \frac{1}{2}(x^{2} + 1) \ \ \ \ 0 < x \le 1 \\ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 1 \end{cases}}\)

Błąd występuje przy wyznaczaniu dystrybuanty dla przedziału \(\displaystyle{ 0 < x \le 1}\). Obliczam tak jak niżej:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} f(x) \mbox{d}x = \int_{0}^{x}x \mbox{d}x = \left| \frac{x ^{2} }{2} \right|_0^x= \frac{x ^{2} }{2} - \frac{0 ^{2} }{2}= \frac{1}{2}x ^{2}}\)

Gdzie robię błąd ?

[lukasz1804]

Dystrybuantę liczymy ze wzoru \(\displaystyle{ F(t)=\int_{-\infty}^tf(x)dx}\), a ponieważ \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\leq -1}\), to wystarczy znaleźć F dla \(\displaystyle{ t>-1}\) licząc \(\displaystyle{ F(t)=\int_{-1}^tf(x)dx}\).

[alek26]

Ale ja nadal nie rozumiem jak poprawnie wyznaczyć dystrybuantę.

[Gotta]

1. dla \(\displaystyle{ x \le -1}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{x}0 \mbox{d}t =0}\)

2. dla \(\displaystyle{ -1<x \le 0}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{-1}0 \mbox{d}t + \int_{-1}^{x}\left (\frac{1}{2}-1\right ) \mbox{d}t}\)

3. dla \(\displaystyle{ 0<x \le 1}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{-1}0 \mbox{d}t + \int_{-1}^{0}\left (\frac{1}{2}-1\right ) \mbox{d}t + \int_{0}^{x}t \mbox{d}t}\)

4. dla \(\displaystyle{ x>1}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{-1}0 \mbox{d}t + \int_{-1}^{0}\left (\frac{1}{2}-1\right ) \mbox{d}t + \int_{0}^{1}t \mbox{d}t+ \int_{1}^{x}0 \mbox{d}t}\)

[alek26]

Witam ponownie,

Wkradł się mały błąd, gęstość zmiennej jest wyrażona:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \le -1\\ \frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ -1 < x \le 0 \\ x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 < x \le 1 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 0 \end{cases}}\)

Już sobie poradziłem dzięki waszym wskazówkom, dziękuję serdecznie !