rozkłąd jednostajny,zmienne niezalezne

[mariusz 90]

Niech zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne.Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+Y}\) w przypadku,gdy:
\(\displaystyle{ X,Y}\) mają ten sam rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [-1,1]}\)

dzieki

[bstq]

1) sposób
\(\displaystyle{ X\sim U\left[-1,1\right],\; Y\sim U\left[-1,1\right]\Rightarrow U_{1}=\frac{X+1}{2}\sim U\left[0,1\right],U_{2}=\frac{Y+1}{2}\sim U\left[0,1\right]}\)
\(\displaystyle{ Z=U_{1}+U_{2}=\frac{X+1}{2}+\frac{Y+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot Z-2=2\cdot\left(\frac{X+1}{2}+\frac{Y+1}{2}\right)-2=2\cdot\left(\frac{X+Y+2}{2}\right)-2=X+Y}\)
Czyli poszukujemy rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ 2\cdot Z-2}\) -dlaczego tak rozpisuje a nie licze splotu? bo znam rozklad Irwina-Halla:

"For n = 2, X follows a triangular distribution:
(u nas:)
\(\displaystyle{ f_Z(x)= \begin{cases} x & 0\le x \le 1\\ 2-x & 1\le x \le 2 \end{cases}}\)"
później trzeba liczyć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ 2\cdot Z-2}\)
wzór w Ważne przykłady, Transformacja liniowa str 3:

2) sposób poprzez liczenie splotu:
[url]http://www.im.pwr.wroc.pl/~agniesz/rachunek_prawd_MAP3040/RPr_MAP3040_wyklad_6.pdf[/url] strona 1 suma niezależnych zmiennych losowych.
\(\displaystyle{ f_{X}\left(t\right)=f_{Y}\left(t\right)=\frac{1}{1-\left(-1\right)}\cdot\mathbb{I}\left(t\in\left[-1,1\right]\right)}\)
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(t)=\int_{\mathbb{R}}f_{X}\left(t-y\right)\cdot f_{Y}\left(y\right)dy=\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{1-\left(-1\right)}\cdot I\left(-1\le t-y\le1\right)\cdot\frac{1}{1-\left(-1\right)}\cdot I\left(-1\le y\le1\right)dy=\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}}I\left(-1-t\le-y\le1-t\right)\cdot I\left(-1\le y\le1\right)dy= =\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}}I\left(t+1\ge y\ge t-1\right)\cdot I\left(-1\le y\le1\right)dy=\frac{1}{4}\int_{\left\{ y:\; t+1\ge y\ge t-1\right\} \cap\left\{ -1\le y\le1\right\} }dy=\begin{cases}
\frac{2(x-\left(-2\right))}{(2-\left(-2\right))(0-\left(-2\right))} & -2\le x\le0\\
\frac{2(2-x)}{(2-\left(-2\right))(2-0)} & 0\le x\le2\\
0 & wpp\end{cases}=\begin{cases}
\frac{x+2}{4)} & -2\le x\le0\\
\frac{2-x}{4} & 0\le x\le2\\
0 & wpp\end{cases}}\), szczerze mówiąc nie liczyłem tego, tylko wiedziałem, że to będzie rozkład trójkątny, tylko musiałem liczyć w jakich punktach gęstość już się zeruje. podstawiałem te punkty do gęstości podanej tutaj:

[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_distribution[/url]

[kuch2r]

chyba wkradł się mały bląd w obliczeniach, tuż przy samej końcówce powinno być
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{x+2}{4} &\mbox{ dla } -2\leq x \leq 0 \\\frac{2-x}{4}&\mbox{ dla } 0\leq x \leq 2 \\ 0 & \mbox{wpp}\end{cases}}\)

[bstq]

skróciłem 2 z 4