Gęstość zmiennej losowej

[Michelow]

Zmienna losowa X ma gęstość okresloną rozkladem N(2,3) wyznaczyc gęstość zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Y= \frac{1}{3}(X-2)}\)?

z góry thx, w czwartek mam kolo i jestem w upie..

[kuch2r]

Jeżeli \(\displaystyle{ X\sim\mathcal{N}(2,3)}\), to \(\displaystyle{ Y=\frac{X-2}{3}\sim\mathcal{N}(0,1)}\).

[Michelow]

nic nie rozumiem:(, moglbys tak krok po kroku wytlumaczyc?

[kuch2r]

tutaj nie ma nic do tłumaczenia, zajrzyj do książki pod hasłem standaryzacji zmiennej losowej o dowolnym rozkładzie typu normalnego z parametrami \(\displaystyle{ \mu}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma}\). Ponadto rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) pojawia się chyba na jednych z pierwszych zajęć dotyczących dotyczących statystyki.

[bstq]

zle napisales, tam nie ma standaryzacji, bo 3 to sigma^2, a nie sigma..., a przy standaryzacji dzielisz przez sigma!

-- 26 maja 2009, 16:34 --

\(\displaystyle{ X\sim\mathcal{N}\left(2,3\right)\Rightarrow X\sim f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(x-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)}\)

dalej korzystamy ze wzoru:
(str 3 - transformacja liniowa)

\(\displaystyle{ F_{Y}\left(y\right)=P\left(Y<y\right)=P\left(\frac{1}{3}X-\frac{2}{3}<y\right)=P\left(\frac{1}{3}X<y+\frac{2}{3}\right)=P\left(X<\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)=F_{X}\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)}\)

ponieważ dowolna kombinacja liniowa + stała wartość daje nam dalej rozkład normalny, więc możemy bezkarnie (nie martwiąc się o punkty nieciągłości dystrybuanty F_{Y}) różniczkować obie strony równości, bo takich punktów nieciągłości (punktów skoków) nie będzie...

\(\displaystyle{ f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}\left(y\right)=\frac{d}{dy}F_{X}\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)=\text{pochodna funkcji }\cdot\text{pochodna funkcji wewnętrznej }=f_{X}\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\right)\cdot\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)\cdot\frac{1}{\frac{1}{3}}=}\)
przekształcamy dalej:
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(\frac{y+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)\cdot\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(\frac{y}{\frac{1}{3}}+\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}-2\right)^{2}}{2\cdot3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(3\cdot y\right)^{2}}{2\cdot3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-9\cdot y^{2}}{2\cdot3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(y-0\right)^{2}}{2\cdot\frac{3}{9}}\right)=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2\pi}}\,\exp\left(\frac{-\left(y-0\right)^{2}}{2\cdot\frac{1}{3}}\right)}\)

z postaci otrzymanej gęstości widzimy, że:
\(\displaystyle{ Y\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{3}\right)}\)

ogólnie mamy:
\(\displaystyle{ X\sim\mathcal{N}\left(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}\right),Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}\right)\Rightarrow aX+bY+c\sim\mathcal{N}\left(a\mu_{1}+b\cdot\mu_{2}+c,\left(a\cdot\sigma_{1}\right)^{2}+\left(b\cdot\sigma_{2}\right)^{2}\right)}\)
u nas stosując ten wzór mielibyśmy:
\(\displaystyle{ X\sim\mathcal{N}\left(2,3\right)\Rightarrow\frac{1}{3}X-\frac{2}{3}\sim\mathcal{N}\left(\frac{1}{3}\cdot2-\frac{2}{3},\left(\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\right)^{2}\right)\equiv\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{3}\right)}\)-- 26 maja 2009, 16:44 --kuch2r, - szczerze mówiąc sam czasem zapominam o tym przez co się dzieli,więc nie ma się czym przejmować

[kuch2r]

oj tutaj, niestety sprawa nie jest tak oczywista jak ci sie wydaje...
jakis czas temu piszac prace na temat rozkladow sum niezależnych zmiennych losowych natknalem się na problem adnotacji, przyjetej konwencji co do oznaczania rozkładu normalnego poprzez symbol \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma)}\) czy też \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)}\).
Przejrzałem w tym temacie kilka podrecznikow i tak naprawde ciezko znalezc jednolity głos.
Ponadto w trakcie rozmowy z moim promotorem wskazał na jeden sposób oznaczenia, a recezent ocenil ze drugi sposob jest poprawny.

oczywiscie dzieki za zwrocenie uwagi oraz podjecie dyskusji...

[bstq]

dla mnie wyznacznikiem jest strona:
i do tej pory nie spotkalem sie z innym oznaczeniem..., chyba najlepszym wyjsciem jest napisanie np.:
\(\displaystyle{ \mathcal{N} \left( 2,\sqrt{3}^{2}\right)}\)
wtedy nie ma watpliwosci