zbieżnosc według prawdopodobieństwa
zbieżnosc według prawdopodobieństwa
Witam. Czy ktoś mógłby dać mi wskazówke jak wykazać, ze w przestrzeni dyskretnej ze zbieżnosci według prawdopodobieństwa wynika zbieżnosc prawie na pewno? Szukałem juz tego we wszystkich ksiązkach niestety nic nie znalazłem ( w Billingsleyu jest tylko to zadanie, ale niestety nie ma zadnej wskazówki). Z góry dziekuje za pomoc;)
-
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
zbieżnosc według prawdopodobieństwa
definicja zbieżności wg. prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ X_n \stackrel{P}{ \longrightarrow} X \ \iff \ \bigwedge_{ \epsilon > 0} \ P( \{ \omega: |X_n( \omega) -X( \omega)| > \epsilon}) \longrightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ X_n \stackrel{P}{ \longrightarrow} X \ \iff \ \bigwedge_{ \epsilon > 0} \ P( \{ \omega: |X_n( \omega) -X( \omega)| > \epsilon}) \longrightarrow 0}\)
zbieżnosc według prawdopodobieństwa
no tak to wiem, ale gdzie tu działa załozenie o przestrzeni dyskretnej?
-
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
zbieżnosc według prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ \omega_{1},\omega_{2},\ldots\right\} ,\#\Omega\le\aleph_{0}}\), bo skoro to ma być przestrzeń dyskretna, to ten zbiór nie może być nieprzeliczalny (tak myślę...)
i dalej są dwie drogi:
1) próbować udowadniać zbieżność z pstwem z definicji (czego sie prawie nigdy nie wykorzystuje)
lub
2) probować korzystać z warunku równoważnego
\(\displaystyle{ X_n \rightarrow^{1} X \Leftrightarrow ( \forall \epsilon >0 ) \lim_{n \rightarrow \infty} P( \sup_{k \ge n} | X_k - X| > \epsilon) = 0}\)-- 24 maja 2009, 12:13 --ale wydaje mi sie ze tego tak prosto nie da sie udowodnic, moze przez indukcje?
i dalej są dwie drogi:
1) próbować udowadniać zbieżność z pstwem z definicji (czego sie prawie nigdy nie wykorzystuje)
lub
2) probować korzystać z warunku równoważnego
\(\displaystyle{ X_n \rightarrow^{1} X \Leftrightarrow ( \forall \epsilon >0 ) \lim_{n \rightarrow \infty} P( \sup_{k \ge n} | X_k - X| > \epsilon) = 0}\)-- 24 maja 2009, 12:13 --ale wydaje mi sie ze tego tak prosto nie da sie udowodnic, moze przez indukcje?
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
zbieżnosc według prawdopodobieństwa
Jeżeli \(\displaystyle{ \omega}\) jest takie że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\left\{\omega\right\})=\delta>0}\) to wtedy
\(\displaystyle{ X_n(\omega) \rightarrow X(\omega) = x}\). W istocie, inaczej dla pewnego podciągu \(\displaystyle{ X_{n_k}(\omega)\rightarrow g\not = x}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in\mathbb{R}\cup\left\{\infty\right\}}\), ale że \(\displaystyle{ X_{n_k}\stackrel{\mathbf{P}}{\rightarrow} X}\), to istnieje z kolei jego podciąg, zbieżny prawie na pewno do \(\displaystyle{ X}\), ale jest oddzielony od \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ \omega}\) miary dodatniej \(\displaystyle{ \delta}\), sprzeczność.
Zbieżności nie mamy więc co najwyżej na \(\displaystyle{ \omega}\) miary zero, ale przestrzeń jest przeliczalna, więc wszystkie takie tworzą razem zbiór miary \(\displaystyle{ 0}\). Zbieżność jest więc prawie wszędzie.
Dopisek: Czytałem wcześniejszy post z wersją że to może być gdy rozkład graniczny jest dyskretny i nawet myślałem że to udowodniłem, ale było źle i nie wiem czy to nie za słabe założenie
\(\displaystyle{ X_n(\omega) \rightarrow X(\omega) = x}\). W istocie, inaczej dla pewnego podciągu \(\displaystyle{ X_{n_k}(\omega)\rightarrow g\not = x}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in\mathbb{R}\cup\left\{\infty\right\}}\), ale że \(\displaystyle{ X_{n_k}\stackrel{\mathbf{P}}{\rightarrow} X}\), to istnieje z kolei jego podciąg, zbieżny prawie na pewno do \(\displaystyle{ X}\), ale jest oddzielony od \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ \omega}\) miary dodatniej \(\displaystyle{ \delta}\), sprzeczność.
Zbieżności nie mamy więc co najwyżej na \(\displaystyle{ \omega}\) miary zero, ale przestrzeń jest przeliczalna, więc wszystkie takie tworzą razem zbiór miary \(\displaystyle{ 0}\). Zbieżność jest więc prawie wszędzie.
Dopisek: Czytałem wcześniejszy post z wersją że to może być gdy rozkład graniczny jest dyskretny i nawet myślałem że to udowodniłem, ale było źle i nie wiem czy to nie za słabe założenie