podstawy prawdopodobienstwa

[123_math]

Zadanie:
Z 22 osób losowo wybrano dwie drużyny po 11 osób.Jakie jest prawdopodobieństwo,że gracz A i gracz B będą w różnych drużynach??
Z góry bardzo dziekuje za pomoc:) pozdrawiam

[Dasio11]

Przydzielamy gracza A do losowej drużyny. Gracz B może się znaleźć w tej samej - \(\displaystyle{ \frac{10}{21}}\), lub w innej - \(\displaystyle{ \frac{11}{21}}\).

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}{20 \choose 10}}{\frac{1}{2}{22 \choose 11}}}\)
licznik - wybieramy jednego z graczy (kolejność nie jest ważna, dlatego mnożymy przez jedną drugą) i dobieramy mu drużynę z pozostałych graczy poza graczem A/B.
mianownik - wybieramy dwie drużyny (ponownie nie ważna jest kolejność)

[Dasio11]

Lukasz_C747, zauważ, że \(\displaystyle{ {20 \choose 10}}\) opisuje liczbę możliwości, gdzie A jest w pierwszej drużynie i B tam nie ma, za to \(\displaystyle{ {22 \choose 11}}\) - liczbę możliwych rozkładów graczy po drużynach, przy czym A może być zarówno w jednej, jak i w drugiej. Tak więc szukane prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {20 \choose 10} }{\frac{1}{2} {22 \choose 11} }=\frac{11}{21}}\) Innymi słowy, gdy wybieramy dwie drużyny z losowymi graczami, każdy rozkład 11 graczy powtórzy się 2 razy, gdyż raz będzie w jednej, a raz w drugiej drużynie.