1. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 2e ^{-ax} dla x > 0 \\ 0 dla x \le 0 \end{cases}}\)
gdzie a to pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.
Dystrybuanta na podstawie gęstości
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Dystrybuanta na podstawie gęstości
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} 2e^{-ax} \mbox{d}x =1}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \mbox{d}x =\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)
Dystrybuanta:
I. dla \(\displaystyle{ x<0}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x 0 \mbox{d}t=0}\)
II. \(\displaystyle{ dla x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0 \mbox{d}t+\int_{0}^x 2e^{-2t} \mbox{d}t= \left|-e^{-2t} \right|_0^x=-e^{-2x}+1}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \mbox{d}x =\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)
Dystrybuanta:
I. dla \(\displaystyle{ x<0}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x 0 \mbox{d}t=0}\)
II. \(\displaystyle{ dla x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0 \mbox{d}t+\int_{0}^x 2e^{-2t} \mbox{d}t= \left|-e^{-2t} \right|_0^x=-e^{-2x}+1}\)