Problem z omegą (przestrzeń zdarzeń elementarnych)

[Matiash1]

Witam otóż mam kłopot z przestrzenią wszystkich zdarzeń elementarnych w kilku zadaniach.

Zad1. W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy bez zwracania 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wyloswoania:

a) dokładnie 2 kul białych
b)przynajmniej 2 kul białych

Według mnie
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {8 \choose 3}}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{8!}{3!*5!} = 56}\)

choć biorąc to na logikę losujemy bez zwracania 3 kule, czyli \(\displaystyle{ 8*7*6 = 336}\)

Które z powyższych jest poprawne ?

Dalej to:
a) \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= {5 \choose 2}* {3 \choose 1}}\)


b) \(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}= {5 \choose 2} * {3 \choose 1} + {5 \choose 3} * {3 \choose 0}}\)

i teram mam pytanie czy powyższe liczę z kombinacji czy wariacji chodzi mi o to czy liczę to ze wzoru
\(\displaystyle{ C= \frac{n!}{k! *(n-k)!}}\) czy może

\(\displaystyle{ V = \frac{n!}{(n-k)!}}\)

-----------------------------------------------------
Jeszcze mam pytanie co do zadań z tych wątków:
1) https://matematyka.pl/122277.htm
2) https://matematyka.pl/123760.htm

zad1)
-\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {8 \choose 2}= \frac{8!}{2!*6!}}\) czy

-\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {8 \choose 2}= \frac{8!}{6!}}\) ?

zad2) Dlaczego tam na początku wszystko jest pomnożone razy 3 ?

[lina2002]

Wszystko zależy od tego, czy chesz brać pod uwagę kolejność, czy nie. Licząc omegę na pierwszy sposób i licząc moc zdarzeń nie bierzesz pod uwagę kolejności. Gdybyś chciał ją brać pod uwagę, to liczysz omegę na drugi podany przez Ciebie sposób i wtedy moc zdarzeń mnożysz przez 3!=6, ponieważ tyle jest permutacji ciagu trzyelementowego.
Patrz także tutaj: viewtopic.php?t=124105

W zadaniu 2 z podanych przez Ciebie linków wszystko jest pomnnożone przez 3, bo to jest jak gdyby rozwiązanie za pomocą drzew, a są 3 takie układy, że wylosowałeś 2 białe i jedną czarną kulkę, mianowicie: \(\displaystyle{ cz,b,b}\), \(\displaystyle{ b,cz,b}\), \(\displaystyle{ cz,b,b}\). Wszytkie mają to samo prawdopodobieństwo odczytywane z gałęzi.

[Matiash1]

Ok, dziękuję Ci bardzo, naprawdę bardzo mi to pomogło !!

Mam jeszcze takie pytanie odnośnie zadania które rozwiązywaliśmy na ćwiczeniach.

Mam zbadać zależność zdażeń
W urnie jest 5 kul biłych i 3 czarne. Losujemy bez zwracania 2 kule. Niech A oznacza, że za pierwszym razem wylosowano kulę białą a zdarzenie B że wylosowano dokładnie jedną kulę białą.

Jak dla mnie moc zdarzeń dla A będzie wynosiło 56 bo rzeczywiście jest ważna kolejność natomiast dla zdarzenia B już 28 bo nie jest ważna kolejność...czy dobrze rozumuje ?
Natomiast rozwiązanie w zeszyscie mam takie:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= 8 * 7 = 56}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}= 5 * 7 = 35}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{35}{56}}\)


\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}= 5 * 3 + 3 *5 = 30}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{30}{56}}\)


\(\displaystyle{ \overline{\overline{A \cap B}}= 5 * 3 = 15}\)

\(\displaystyle{ \frac{15}{56} \neq \frac{30}{56} * \frac{35}{56}}\)

zdarzenia są zależne.

Nie rozumiem dlaczego moc dla zdarzenia B jest taka sama jak dla A przecież w B nie ma znaczenia kolejność...

[lina2002]

Jeśli bierzesz pod uwagę kolejność, to musisz uwzględnić ją wszędzie. Licząc Omegę wylosowanie napierw kuli białej, a potem czarnej i odwrotnie traktujemy jako 2 przypadki. Oba są sprzyjające, więc trzeba je uwzględnić licząc mog zdarzenia B. tak więc rozwiązanie jest jak najbardziej poprawne