gęstość rozkładu

[natkoza]

Pokazać, ze jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością (rozkładu P), to funkcja \(\displaystyle{ f_0(x)=\frac{1}{a}f(\frac{x-b}{a}),x\in R}\) gdzie \(\displaystyle{ a>0,b\in R}\) jest gęstością pewnego rozkładu \(\displaystyle{ P_0}\) oraz zachodzi związek:
\(\displaystyle{ \phi_0(t)=e^{ibt}\phi(at),t\in R}\) (\(\displaystyle{ \phi}\)- funkcja chaarakterystyczna dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ P}\))

[kuch2r]

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie gęstością zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1}\).
Ponadto rozważmy, funkcję \(\displaystyle{ f_0(x)=\frac{1}{a}f\left(\frac{x-b}{a}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0, b\in \mathbb{R}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f_0(x)dx=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty} f\left(\frac{x-a}{b}\right)dx}\)
Dalej wystarczy, podstawienie \(\displaystyle{ \frac{x-a}{b}=t}\) i wychodzi, że wyjściowa całka wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

Dalej, wiemy że \(\displaystyle{ \varphi_\xi(t)=\mathbb{E}\left(e^{it\xi}\right)}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \varphi_0(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{a}\left(\frac{x-a}{b}\right) e^{itx} dx=(*)}\)
Ponownie podstawienie typu \(\displaystyle{ y=\frac{x-b}{a}}\).
\(\displaystyle{ (*)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{it(ay+b)}dx=e^{itb}\varphi_{\xi}(at)}\)