funkcja kwadratowa i prawdopodobienstwo cd

[beetleguese]

Losujemy dwie liczby x, y nalezace do przedzialu [0,4]. Jakie jest prawdopodobienstwo ze
\(\displaystyle{ y -x^{2} +4x-4 \le 0}\)

zadanie 2

losujemy dwie liczby \(\displaystyle{ x \in[-1,3]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [0,3]}\). jakie jest prawdopodobienstwo ze \(\displaystyle{ 3x ^{3} -y \le 0}\)

[Gotta]

\(\displaystyle{ \Omega = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0 \le x \le 4 \wedge 0 \le y \le 4 \}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=16}\)

\(\displaystyle{ A}\) - wylosowane liczby spełniają warunek \(\displaystyle{ y \le x^2-4x+4}\)

\(\displaystyle{ A = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0 y \le x^2-4x+4 \wedge 0 \le x \le 4 \wedge 0 \le y \le 4 \}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=2\int_0^2 x^2-4x+4 \mbox{d}x =\frac{16}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\frac{16}{3}}{16}=\frac{1}{3}}\)

[mcbob]

a) \(\displaystyle{ y \le x ^{2}-4x+4}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=5 ^{2}=25}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=15}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{15}{25}= \frac{3}{5}}\)

b) \(\displaystyle{ y \ge 3x ^{3}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=5 \cdot 4=20}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=9}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{9}{20}}\)

Sorki policzyłem to dla \(\displaystyle{ x,y \in C}\). Najlepiej nie zwracajcie uwagi na tego posta .

[Gotta]

Zadanie 2

\(\displaystyle{ \Omega = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:-1 \le x \le 3 \wedge 0 \le y \le 3 \}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=4\cdot 3 = 12}\)

\(\displaystyle{ A}\) - wylosowane liczby spełniają warunek \(\displaystyle{ y \ge 3x^3}\)

\(\displaystyle{ A = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y \ge 3x^3 \wedge -1 \le x \le 3 \wedge 0 \le y \le 3 \}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=2\cdot 3-\int_0^1 3x^3 \mbox{d}x =\frac{21}{4}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\frac{21}{4}}{12}=\frac{7}{16}}\)

[beetleguese]

mam takie pytanko czemu druga calka jest w granicach od 0 do 1, a nie od -1 do 1

[Gotta]

Liczymy pole obszaru
\(\displaystyle{ \{(x,y): x\in<-1,1> \wedge y\in <0,3> \wedge y>3x^3\}}\)
To pole możemy obliczyć odejmując od pola prostokąta
\(\displaystyle{ \{(x,y): x\in<1,1> \wedge y\in <0,3>\}}\)
pole obszaru \(\displaystyle{ \{(x,y): x\in <0,1>, \wedge y\in <0,3> \wedge y<3x^3\}}\)
stąd całka od 0 do 1