Losowanie wierzchołków sześcianu - łamana.

[Natasha]

Ze zbioru wierzchołków sześcianu losujemy kolejno trzy razy po jednym wierzchołku bez zwracania. Wylosowane wierzchołki są kolejnymi wierzchołkami łamanej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - pierwszy bok łamanej będzie dłuższy od jej drugiego boku.

Kompletnie nie wiem, jak się za to zabrac...

[Lukasz_C747]

Rozważ wszystkie przypadki. Mamy trzy rodzaje krawędzi łamanej (od najdłuższego), gdy wylosujemy:
- wierzchołki na przekątnej sześcianu - 4 (przekątne) * 2 (za kolejność ich wylosowania) = 8 (przypadków),
- wierzchołki na przekątnej jednego z boków - 2 (przekątne) * 6 (boków) * 2 (kolejność) = 24,
- wierzchołki łączące krawędzie - 12 (krawędzi) * 2 (kolejność) = 24.
Teraz rozważamy losowanie 3-go wierzchołka:
- Jeśli wylosujemy przekątną sześcianu, to automatycznie druga krawędź łamanej jest krótsza - 8 (przypadków) * 6 (dowolny ostatni wierzchołek) = 48.
- Jeśli wylosujemy przekątną boku, to druga krawędź łamanej musi być krawędzią sześcianu - 24 (przypadki) * 3 (możliwości ostatniego wierzchołka) = 72.
- Jeśli wylosowaliśmy wierzchołki łączące krawędzie, to oczywiście druga krawędź łamanej nie może być krótsza - 0.
Zatem moc A = 72+48 = 120.
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{120}{336}}\)