Jak pokazać, że:
jeśli F jest dystrybuantą rozkładu P, a \(\displaystyle{ \phi}\) jej funkcją charakterystyczną, to \(\displaystyle{ P(\mathbb{Z})=1 \Leftrightarrow \phi(2\pi)=1}\)
?
dystrybuanta i jej funkcja charakterystyczna
-
Lukasz_C747
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
dystrybuanta i jej funkcja charakterystyczna
Na początek:
- \(\displaystyle{ \phi(t) = \mathbb{E}e^{itX}}\)
- Funkcja exp jest \(\displaystyle{ 2\pi i}\) okresowa.
Eksponenta w zerze ma wartość 1, zatem:
\(\displaystyle{ \forall k \in \mathbb{Z} \quad \mathbb{E}e^{2\pi i k} = \mathbb{E}e^0 = \mathbb{E}1 = 1}\)
Jednocześnie lewa strona równoważności informuje nas, że nasza zmienna losowa przyjmuje wartości całkowitoliczbowe prawie na pewno, stąd:
\(\displaystyle{ \phi(2\pi) = \mathbb{E}e^{2\pi i k}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).
W drugą stronę analogicznie.
- \(\displaystyle{ \phi(t) = \mathbb{E}e^{itX}}\)
- Funkcja exp jest \(\displaystyle{ 2\pi i}\) okresowa.
Eksponenta w zerze ma wartość 1, zatem:
\(\displaystyle{ \forall k \in \mathbb{Z} \quad \mathbb{E}e^{2\pi i k} = \mathbb{E}e^0 = \mathbb{E}1 = 1}\)
Jednocześnie lewa strona równoważności informuje nas, że nasza zmienna losowa przyjmuje wartości całkowitoliczbowe prawie na pewno, stąd:
\(\displaystyle{ \phi(2\pi) = \mathbb{E}e^{2\pi i k}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).
W drugą stronę analogicznie.