losowanie liczby

[cichy303]

hej mam takie zadanko

losujemy liczbę naturalna tak że sznas na wylosowanie liczby i wynosi 3*4 ^-i . Obliczyć
prawdopodobieństwo że wyslosowana liczba jest podzielna przez 5 i 7

pomórzcie jak by ktoś mógł dac jakies wyjasnienie

[Lukasz_C747]

Oznaczmy przez P(i) prawdopodobieństwo wylosowania liczby i. Liczby 5 i 7 są liczbami pierwszymi i nie mają wspólnych dzielników, zatem liczby podzielne przez obie są wielokrotnościami 35(=5*7). Wystarczy zatem zsumować prawdopodobieństwa wylosowania wszystkich takich liczb.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} P(35*i) = \sum_{i=1}^{\infty} 3*4^{-35i} =
3* \sum_{i=1}^{\infty} 4^{-35i} = 3*\frac{4^{-35}}{1-4^{-35}}}\)

P.S. Pisze się "pomóżcie"

[cichy303]

dzięki wielkie ale mogłabyś mi napisać jak zrobiłeś przekształcenie z przed ostatniego równania do ostatniego??

[Lukasz_C747]

Skorzystałem ze wzoru na sumę szeregu gemetrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} a_{1}*q^{i-1} = \frac{a_{1}}{1-q}}\)
pod warunkiem \(\displaystyle{ |q| < 1}\)