Problem z rozwiązaniem

[Grynka]

Rzucamy 5 razy monetą. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a. co najmniej raz wypadnie orzeł
b. co najwyżej 3 razy wypadnie reszka

Jest to zdarzenie przeciwne? Jaka będzie omega i moce?..

[piotrekd4]

a. najłatwiej oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł nie wypadnie w ogóle i wynik odejmij od 1.
b. wylicz prawdopodobieństwo wypadnięcia 4 i 5 razy a sumę odejmij od 1

[Gotta]

a)
\(\displaystyle{ A}\) - co najmniej raz wypadnie orzeł
\(\displaystyle{ A'}\) - orzeł nie wypadnie ani razu
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')=1- {5 \choose 0} \left( \frac{1}{2} \right)^0 \left( \frac{1}{2} \right)^5}\)

b)
\(\displaystyle{ B}\) - co najwyżej trzy razy wypadnie reszka
\(\displaystyle{ P(B)={5 \choose 0} \left( \frac{1}{2} \right)^0 \left( \frac{1}{2} \right)^5+ {5 \choose 1} \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^4+ {5 \choose 2} \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^3+ {5 \choose 3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^2}\)

[Grynka]

hm, a musze koniecznie mieć podaną omege i a, b i moce.. jak to zrobic? podobnym sposobem robiłam, tylko jest jeszcze taki problem, że nie braliśmy jeszcze rozwiazywania zadania metoda gdzie są podane te potęgi (nie wiem jak sie to nazywa nawet..) więc jak mam zrobić to typowo pod prawdopodobienstwo i jak mam te zadanie zaprezentować?

[Gotta]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=2^5}\)
\(\displaystyle{ A}\) - orzeł wypadł co najmniej raz
\(\displaystyle{ A'}\) - orzeł nie wypadł ani razu = wypadły same reszki
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}}=1}\)

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')=1-\frac{1}{2^5}}\)

\(\displaystyle{ B}\) - co najwyżej trzy razy wypadła reszka
Zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) można zapisać jako sumę zdarzeń:
\(\displaystyle{ B_1}\) - reszka wypadła raz
\(\displaystyle{ B_2}\) - reszka wypadła dwa razy
\(\displaystyle{ B_3}\) - reszka wypadła trzy razy
\(\displaystyle{ B_4}\) - reszka nie wypadła ani razu

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B_1}}=5}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B_2}}=10}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B_3}}=10}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B_4}}=1}\)

A więc
\(\displaystyle{ P(B)=P(B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup B_4)=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)+P(B_4)=\frac{5}{2^5}+\frac{10}{2^5}+\frac{10}{2^5}+\frac{1}{2^5}}\)

[Grynka]

Dziękuje bardzo :*
tylko jeszcze musze konkretne możliwości wypisać do omegi i a i b.. i nie wiem jak to zrobić, a to jest warunek konieczny.
Omega= {(O, R); (R, O); (R, R); (O, O)}, cos tego typu i musze miec wypisane wszystkie mozliwosci i z tym mam najwiekszy problem..

[Gotta]

Wypiszę Ci tylko \(\displaystyle{ \Omega}\), z resztą sobie poradzisz

\(\displaystyle{ \Omega}\)={ (OOOOO) (OOOOR) (OOORO) (OOORR) (OOROR) (OOROO) (OORRR) (OORRO) (OROOO) (OROOR) (ORORR) (ORORO) (ORRRR) (ORRRO) (ORROO) (ORROR) (RRRRO) (RRRRR) (RRROR) (RRROO) (RROOO) (RROOR) (RRORR) (RRORO) (RORRR) (RORRO) (ROROO) (ROROR) (ROORO) (ROORR) (ROOOO) (ROOOR) }

[Grynka]

podpunkt A mam zalatwiony, a majac te wszystkie dane do podpunktu A, można również obliczyć ze wzoru prawdopodobienstwa: P(A)=moc A/moc omegi, prawda?
teraz mam tylko wątpliwości, co do tego drugiego.. W książce był podany wynik 13/16, wiec teraz nie wiem. Byłoby to 2^3, ale jak to wyjasnic, jak wypisac B i moc B oraz rozwiazanie? A jeżeli 'co najwyżej 3', tzn. że moze byc raz, moze byc 2 ale i również 3? A takich, których jest powyżej 3, jest 6. Więc pula zmniejsza się do 26 odjąc ten, gdzie w ogóle nie występuje (same orły) = 25..

[Gotta]

co najwyżej trzy reszki oznacza, że reszka wypadnie 3 razy lub reszka wypadnie dwa razy lub reszka wypadnie raz lub NIE WYPADNIE w ogóle.
Więc zdarzeń jest 26.

[Grynka]

Więc chyba jest błąd w książce.. Czyli wynik siłą rzeczy będzie 26/32?

[Gotta]

a przypadkiem \(\displaystyle{ \frac{26}{32}=\frac{13}{16}}\) ??

[Grynka]

rzeczywiście, nie zauwazyłam.
Serdecznie dziękuje za pomoc.