Dystrybuanta rozkładu Bernoulliego
Dystrybuanta rozkładu Bernoulliego
Z definicji dystrybuanty. Jak komuś tłumaczę czym jest dystrybuanta to odpowiadam, że pytaniem o to, jakie prawdopodobieństwo jest, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od wybranej. Generalnie chodzi o to, że dodajesz do siebie prawdopodobieństwa z poprzednich danych wartości. Nie wiem czy wyrażam się dostatecznie jasno...
np. rozkład dwumianowy
x przyjmuje wartość 1 lub 2 z prawdopodobieństwem 0,5 dla każdej wartości.
Dystrybuanta przyjmie wartości:
0 dla x < 1 ( nie możliwe, że wylosujemy mniejszą liczbę, dlatego 0 )
0,5 dla x \(\displaystyle{ \in}\) < 1 ; 2 >
1 dla x > 2
Mam nadzieję, że udało mi się pomóc
np. rozkład dwumianowy
x przyjmuje wartość 1 lub 2 z prawdopodobieństwem 0,5 dla każdej wartości.
Dystrybuanta przyjmie wartości:
0 dla x < 1 ( nie możliwe, że wylosujemy mniejszą liczbę, dlatego 0 )
0,5 dla x \(\displaystyle{ \in}\) < 1 ; 2 >
1 dla x > 2
Mam nadzieję, że udało mi się pomóc
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Dystrybuanta rozkładu Bernoulliego
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego) z parametrami \(\displaystyle{ (n,p)}\), jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem
\(\displaystyle{ P(X=k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\)
Wyznaczmy jej dystrynuantę.
Dla \(\displaystyle{ k \le 0}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0}\)
dla \(\displaystyle{ 0<k \le 1}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}}\)
dla \(\displaystyle{ 1<x \le 2}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}+{n \choose 1} p^1(1-p)^{n-1}}\)
...
dla \(\displaystyle{ n-1<x \le n}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}+...+{n \choose n-1} p^{n-1}(1-p)^{1}}\)
dla \(\displaystyle{ x>n}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}+...+{n \choose n-1} p^{n-1}(1-p)^{1}+{n \choose n} p^{n}(1-p)^{0}=\sum_{k=0}^n{n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}=1}\)
A więc można napisać, że
\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{0 \le k<x}P(X=k)=\sum_{0 \le k<x}{n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ P(X=k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\)
Wyznaczmy jej dystrynuantę.
Dla \(\displaystyle{ k \le 0}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0}\)
dla \(\displaystyle{ 0<k \le 1}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}}\)
dla \(\displaystyle{ 1<x \le 2}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}+{n \choose 1} p^1(1-p)^{n-1}}\)
...
dla \(\displaystyle{ n-1<x \le n}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}+...+{n \choose n-1} p^{n-1}(1-p)^{1}}\)
dla \(\displaystyle{ x>n}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0+{n \choose 0} p^0(1-p)^{n}+...+{n \choose n-1} p^{n-1}(1-p)^{1}+{n \choose n} p^{n}(1-p)^{0}=\sum_{k=0}^n{n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}=1}\)
A więc można napisać, że
\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{0 \le k<x}P(X=k)=\sum_{0 \le k<x}{n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\)
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Dystrybuanta rozkładu Bernoulliego
Istotne też czy dystrybuantę rozumiemy przez \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X\leq t)}\) czy po rosyjsku \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<t)}\). To tylko kosmetyka we wzorze, ale jednak.