Oceny z matematyki, stomatolodzy

[Tom555]

Zadanie 1.

Na wykresie przedstawiono dane o ocenach z matematyki uzyskanych na koniec I semestru przez uczniów jednej z klas trzecich. Spośród uczniów tej klasy wybrano losowo dwie osoby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

B- wylosowano uczniów, którzy mieli na koniec semestru różne oseny, przy czym były to oceny co najmniej dobre.

Oto co przedstawia wykres

2 oceny dopuszczające
6 ocen dostatecznych
8 ocen dobrych
4 oceny bardzo dobre
2 oceny celujące

Zadanie 2.
Po południu w prywatnej przychodni pracuje trzech stomatologów. Pewnego popołudnia stomatolodzy tej przychodni przyjęli sześciu pacjentów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
B- każdy z lekarzy przyjął co najwyżej czterech pacjentów


Narazie te dwa, mam jeszcze dwa ale może uda mi sie je samemu rozgryźć

Pozdrawiam

[Gacuteek]

1.
\(\displaystyle{ \Omega= {22 \choose 2}}\)
B:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 4+2 \cdot 8+4 \cdot 8}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{B}{\Omega}}\)

[bstq]

2.
\(\displaystyle{ B=\left\{ \text{każdy lekarz przyjął co najwyżej czterech pacjentów}\right\} =\left\{ \forall i=1,2,3\quad\text{\#lekarz}_{i}\le4\right\}}\), gdzie oznacza liczbę pacjentów jaką przyjał lekarz \(\displaystyle{ i}\)-ty
\(\displaystyle{ \Omega\backslash B=\neg\left\{ \forall i=1,2,3\quad\text{\#lekarz}_{i}\le4\right\} =\left\{ \exists i\;\text{\#lekarz}_{i}>4\right\}}\)

teraz cała zabawa polega na tym, żeby zrozumieć co oznaczają kwantyfikatory \(\displaystyle{ \forall}\) i \(\displaystyle{ \exists}\) w zdarzeniach losowych, mianowicie:
\(\displaystyle{ \forall i=1,\ldots n\rightarrowtail\bigcap_{i=1}^{n}}\)
\(\displaystyle{ \exists i\in\left\{ 1,\ldots,n\right\} \rightarrowtail\bigcup_{i=1}^{n}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \Omega\backslash B=\bigcup_{i=1}^{3}\left\{ \text{\#lekarz}_{i}>4\right\}}\)
\(\displaystyle{ P\left(\Omega\backslash B\right)=P\left(\bigcup_{i=1}^{3}\left\{ \text{\#lekarz}_{i}>4\right\} \right)=\sum_{i=1}^{3}P\left(\left\{ \text{\#lekarz}_{i}>4\right\} \right)}\), bo te 3 zdarzenia są rozłączne, bo jeśli u jednego lekarza jest >4, to u drugiego jest co nawyzej <6-4
\(\displaystyle{ P\left(\left\{ \text{\#lekarz}_{i}>4\right\} \right)=P\left(\left\{ \text{\#lekarz}_{i}=5\right\} \right)+\left(\left\{ \text{\#lekarz}_{i}=6\right\} \right)=\left(\frac{1}{3}\right)^{5}+\left(\frac{1}{3}\right)^{6}}\), bo każdy pacjent może wybrać jednego z 3 lekarzy

ostatecznie:
\(\displaystyle{ P\left(B\right)=1-P\left(\Omega\backslash B\right)=1-\sum_{i=1}^{3}P\left(\left\{ \text{\#lekarz}_{i}>4\right\} \right)=1-3\cdot\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{5}+\left(\frac{1}{3}\right)^{6}\right)}\)

[hulietta]

ja to drugie bym zrobiła w ten sposób: mamy 3 zbiory do których możemy przyporządkować pacjentów więc \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=3^{6}}\)
Moc zbioru obliczamy za pomocą zdarzenia przeciwnego, więc:
\(\displaystyle{ {6\choose 6}*3}\) gdy jeden przyjmie wszystkich pacjentów
\(\displaystyle{ {6 \choose 5}* {6 \choose 1}*3}\) gdy jeden z nich przyjmie 5.

Dalej juz chyba wiesz co z tym zrobic. A jak bylo w odp ?

[VanHezz]

1.
\(\displaystyle{ \Omega= {22 \choose 2}}\)
B:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 4+2 \cdot 8+4 \cdot 8}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{B}{\Omega}}\)

A czy to zadanie można by rozwiązać, licząc prawdopodobieństwo warunkowe? W końcu można by je też zrozumieć jako "oblicz jakie było prawdopodobieństwo wylosowania dwóch uczniów z różną oceną, jeśli wiadomo, że uczniowie ci mieli co najmniej czwórkę."
Czy zbyt to przeformułowałem? Na czym polega różnica między tymi dwoma treściami zadań. Albo jak powinna wyglądać ta treść, żeby móc zastosować tu prawdopodobieństwo warunkowe?

Dodano po 1 dniu 6 godzinach 5 minutach 16 sekundach:
Chyba że prawdopodobieństwo warunkowe liczby się na podstawie wcześniejszego, jakiegoś bazowego doświadczenia np. "Rzucając trzy razy symetryczną kostką do gry, otrzymano liczby oczek, których suma jest równa sześć. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn otrzymanych liczb oczek równy jest sześć." To tu liczymy prawdopodobieństwo, mając już pewien nowy zbiór zdarzeń elementarnych, który jest zbiorem trójek liczb oczek, których suma jest równa sześć.
Ale wciąż mam wątpliwości co do powyższego przykładu.