suma liczb

[monikap7]

ze zboru liczb od 1 do 2009 losujemy 2. Jaki jest prawdop., ze suma wylosowanych licz jest równa 2009?? drugie pytanie: ze suma jest nie wieksza od 2009??

[kuba958]

Ilość wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa ilości kombinacji 2 elementów ze zbioru 2009 elementowego:

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = {2009 \choose 2} = \frac{2008 \cdot 2009}{2} =1004 \cdot 2009}\)

Otrzymać liczbę 2009 używając 2 składników można na 1004 sposoby:
1+2008
2+2007
.
.
.
1004+1005
Zatem ilość zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu jest równa 1004, stąd:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1004}{1004 \cdot 2009} = \frac{1}{2009}}\)

zdarzenie B - wylosowane dwie liczby dają w sumie nie więcej, niż 2009:
Zdarzenia sprzyjające:
dla pierwszej wylosowanej liczby 1 jest to 2007 liczb (od 2 do 2008)
dla 2 jest to 2006 liczb (od 1 do 2007 bez 2)
dla 3 jest to 2005 liczb
.
.
.
dla 2008 jest to jedna liczba.
Zatem liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B to połowa sumy 1+2+3+...+2007 (gdyż w ten sposób każdą parę liczymy podwójnie!)
Ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy, że jest to
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (1+2+3+...+2007)= \frac{1}{2} \cdot \frac{2007 \cdot 2008}{2}=2007 \cdot 502}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{2007 \cdot 502}{2009 \cdot 1004} = \frac{2007}{4018}}\)

P.S. Wystarczy jeden znak zapytania.