Wybór hipotezy

[BTTOS]

Przed dokonaniem doświadczenia istnieją dwie jednakowo prawdopodobne hipotezy dotyczące prawdopodobieństwa sukcesu w pojedynczym doświadczeniu:
\(\displaystyle{ p_{1} = \frac{1}{2}


p_{2} = \frac{2}{3}}\)

Którą z hipotez należy uznać za słuszną, jeżeli w wyniku przeprowadzenia 200 prób wg schematu Bernoulliego uzyskano 116 sukcesów?

[Gotta]

\(\displaystyle{ H_1}\) - wybrano hipotezę pierwszą
\(\displaystyle{ H_2}\)- wybrano hipotezę drugą
\(\displaystyle{ A}\) - w wyniku \(\displaystyle{ 200}\) prób uzyskano \(\displaystyle{ 116}\) sukcesów
Musimy porównać ze sobą prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P(H_1|A)}\) i \(\displaystyle{ P(H_2|A)}\)
Obliczmy najpierw \(\displaystyle{ P(A|H_1)}\) i \(\displaystyle{ P(A|H_2)}\)
\(\displaystyle{ P(A|H_1)= {200 \choose 116} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{116}\cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{84}={200 \choose 116} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{200}}\)
\(\displaystyle{ P(A|H_2)= {200 \choose 116} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{116}\cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{84}}\)

\(\displaystyle{ P(H_1|A)=\frac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)}=
\frac{{200 \choose 116} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{200}\cdot\frac{1}{2}}{{200 \choose 116} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{200}\cdot\frac{1}{2}+{200 \choose 116} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{116}\cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{84}\cdot\frac{1}{2}}=
\frac{3^{200}}{3^{200}+2^{316}}}\)

\(\displaystyle{ P(H_2|A)=\frac{P(A|H_2)P(H_2)}{P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)}=
\frac{{200 \choose 116} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{116}\cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{84}\cdot\frac{1}{2}}{{200 \choose 116} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{200}\cdot\frac{1}{2}+{200 \choose 116} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{116}\cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{84}\cdot\frac{1}{2}}=
\frac{2^{316}}{3^{200}+2^{316}}}\)

\(\displaystyle{ P(H_1|A)>P(H_2|A)}\)

Hipoteza pierwsza jest słuszna.

[BTTOS]

\(\displaystyle{ P( H_{2}) = \frac{2}{3} czy \frac{1}{2}}\)?

[Gotta]

\(\displaystyle{ P(H_1)=P(H_2)=\frac{1}{2}}\) bo hipotezy są tak samo prawdopodobne