Wartość Oczekiwana

[Michelow]

mam pewien problem.. mam obliczyć wartość oczekiwana wygranej gracza, mam do tego wzór

\(\displaystyle{ EX=\sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}}\) mam tez wyliczone wartosci jakie przyjmuje x i jego prawdopodobienstwa.. ale nie wiem jak ten wzor zastosowac.. moglby ktos na tym przykladzie mi to wytlumaczyc?
\(\displaystyle{ P(X=20)= \frac{1}{221}}\)
\(\displaystyle{ P(X=10)= \frac{11}{221}}\)
\(\displaystyle{ P(X=-2)= \frac{209}{221}}\)
z gory thx!

i drugie pytanko:) jak obliczyc z tego np jeszcze \(\displaystyle{ E(x^2}\)) i odchylenie przecietne d(x)..?

[Gotta]

\(\displaystyle{ EX=20\cdot\frac{1}{221}+10\cdot\frac{11}{221}+(-2)\cdot\frac{209}{221}}\)

\(\displaystyle{ EX^2= \sum_{i=1}^{n} x_i^2p_i=20^2\cdot\frac{1}{221}+10^2\cdot\frac{11}{221}+(-2)^2\cdot\frac{209}{221}}\)

Wariancja \(\displaystyle{ D^2X=E(X^2)-E^2(X)}\)

Odchylenie standardowe \(\displaystyle{ D(X)=\sqrt{D^2X}}\)

[Michelow]

jeszcze mam jedna niewiadomą jak obliczyc te \(\displaystyle{ E^2X}\)
z gory thx..
aj musze sie zaczac uczyc;/

[Gotta]

\(\displaystyle{ E^2X=(EX)^2}\)

[Michelow]

dzizas racja.. eh, kiedy ja sie obudze;)
ok pytam dalej:) odchylenie przecietne
znalazlem wzór ale dalej mi nic nie mowi:(

\(\displaystyle{ d= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}|x_{i}- \overline{x}|}\)

jak go zastosowac dla takich \(\displaystyle{ p_{i} \ i \ x_{i}}\)
\(\displaystyle{ P(X=(-2))=0,5\\P(X=2)=0,3\\P(X=4)=0,2}\)

i kolejne pytanie:
jak z tego samego obliczyc \(\displaystyle{ kwantyl \ x_{0,3} \ i \ mediane \ x_{0,5}}\)

[Gotta]

\(\displaystyle{ d= \sum_i |x_i-EX|p_i}\)
W naszym przypadku
\(\displaystyle{ EX=0,5\cdot(-2)+0,3\cdot 2+0,2\cdot 4=0,4}\)
\(\displaystyle{ d=|-2-0,4|\cdot 0,5|(2-0,4|\cdot 0,3+|4-0,4|\cdot 0,2=2,4}\)

Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0,3}\) to każda liczba \(\displaystyle{ x}\) spełniająca warunki
\(\displaystyle{ F(x) \le 0,3 \le F(x+0)}\)
Musimy wyznaczyć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X}\)
F(x)= egin{cases} 0qquad ext{dla }x le -2\
0,5qquad ext{dla }-2<x le 2\
0,8qquad ext{dla }2<x le 4\
1qquad ext{dla }x>4
end{cases}
Najlepiej teraz naszkicować sobie wykres dystrybuanty. Następnie narysować wykres \(\displaystyle{ y=0,3}\).
Widać wtedy, że \(\displaystyle{ F(-2)=0<0,3}\) oraz \(\displaystyle{ F(-2+0)=0,5>0,3}\), czyli
\(\displaystyle{ x=-2}\) jest kwantylem rzędu \(\displaystyle{ 0,3}\)


Mediana jest kwantylem rzędu \(\displaystyle{ 0,5}\). Wyznaczamy ją analogicznie. Spróbuj sam. Jakbyś miał problem, pisz.

[Michelow]

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x \le -2\\
0,5\qquad\text{dla }-2<x \le 2\\
0,8\qquad\text{dla }2<x \le 4\\
10,5\qquad\text{dla }x>4
\end{cases}}\)

czyli mam rozumiec ze nie ma kwantyla \(\displaystyle{ x_{0,5}}\) bo nie ma x ktory jest wiekszy w punkcie a zarazem mniejszy w prawostronnej granicy w tym punkcie?

[Gotta]

O kurka!! W dystrybuancie w ostatnim przedziale oczywiście powinno być \(\displaystyle{ 1}\) a nie \(\displaystyle{ 10,5}\). Nie zauważyłeś takiego błędu?
nie ma takich x?
a co powiesz o punktach z przedziału \(\displaystyle{ (-2,2)}\)?
Przecież prosta \(\displaystyle{ y=0,5}\) pokrywa się z wykresem dystrybuanty, więc dla każdego \(\displaystyle{ x\in (-2,2)}\) mamy
\(\displaystyle{ F(x)=0,5 \le 0,5 \le F(x+0)=0,5}\)
A więc każdy z punktów tego przedziału jest medianą.

Poza tym mamy:
\(\displaystyle{ F(-2)=0 \le 0,5 \le F(-2+0)=0,5}\)
oraz
\(\displaystyle{ F(2)=0,5 \le 0,5 \le F(2+0)=0,8}\),
czyli mamy jeszcze dwa dodatkowe kwantyle rzędu \(\displaystyle{ 0,5}\).
Czyli ostatecznie medianą jest każda liczba należąca do przedziału \(\displaystyle{ <-2,2>}\)

[Michelow]

wróć, racja tam jest słaba nierówność! zmyliłeś mnie tym początkiem, gdzie stosowałaś ostre, no ale nic ale teraz pięknie ładnie rozumiem:) dzięki wielkie za pomoc:) punkcik jak nie browarek należy Ci się:)

dużo jest tu zależności i wzorów których nie znalem, ale to winić się tylko mogę sam, bo kto mi zabronił na wykłady chodzić...
jeszcze raz dzięki:)