losowoanie kul

[Natmat]

Są trzy urny typu A zawierające 4 białe, 3 czarne i 3 zielone kule oraz pięć urn
typu B zawierających 2 białe, 6 czarnych i 2 zielone kule. Wybieramy losowo
cztery razy urnę. Za kaŜdym razem z wybranej urny losujemy jedną kulę
zwracając ją z powrotem do urny, z której została wylosowana. Jakie jest
prawdopodobieństwo, Ŝe a) co najwyŜej dwa razy wylosujemy kulę białą b)
jeden raz wylosujemy kulę zieloną

[Gotta]

a)
A - wylosowano kulę białą w pojedynczym doświadczeniu
B - Wylosowano urną typu A
C - Wylosowano urnę typu B
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|C)P( C )=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{8}+\frac{2}{10}\cdot \frac{5}{8}=\frac{11}{40}}\)

D - Co najwyżej dwa razy wylosowano kulę białą
Korzystamy ze schematu Bernoulliego
\(\displaystyle{ P(D)={4\choose 0}\cdot\left (\frac{11}{40}\right )^0\cdot\left (\frac{29}{40}\right )^4+{4\choose 1}\cdot\left (\frac{11}{40}\right )^1\cdot\left (\frac{29}{40}\right )^3+{4\choose 2}\cdot\left (\frac{11}{40}\right )^2\cdot\left (\frac{29}{40}\right )^2}\)

b)
A - wylosowano kulę zieloną w pojedynczym doświadczeniu
B - Wylosowano urną typu A
C - Wylosowano urnę typu B
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|C)P( C )=\frac{3}{10}\cdot \frac{3}{8}+\frac{2}{10}\cdot \frac{5}{8}=\frac{19}{80}}\)

D - Raz wylosowano kulę zieloną
Korzystamy ze schematu Bernoulliego
\(\displaystyle{ P(D)={4\choose 1}\cdot\left (\frac{19}{80}\right )^1\cdot\left (\frac{61}{80}\right )^3}\)