zmienna losowa

[monikap7]

Jak zbadać czy \(\displaystyle{ X(x,y)=x+1}\) jest zmienną losową?

[Emiel Regis]

Trzeba by dokładniej napisać skąd dokąd prowadzi ta zmienna.

Dosc ogólnie piszac jest tak:

\(\displaystyle{ X: (\Omega, \mathcal{F}) \longrightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))}\)

U nas bym zaproponował tak:

\(\displaystyle{ X: (\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)) \longrightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))}\)

Aby powyższa funkcja była zmienną losową to musi być mierzalna czyli przeciwobraz zbioru mierzalnego musi być mierzalny tj. piszac formalnie:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})} X^{-1}(B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)}\)

Wystarczy ograniczyć sprawdzanie bo zbiorów postaci \(\displaystyle{ B = (-\infty, a)}\), dzieki temu pozostaje Ci tylko zobaczyć że:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{a \in \mathbb{R}} X^{-1}(-\infty,a) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)}\)