Ciąg zmienych losowych - różne rodzaje zbieżności

bulva · Post autor: **bulva** » 20 kwie 2009, o 17:23

Czy ze zbieżności z pr-stwem 1 (prawie wszędzie) wynika zbieżność punktowa ciągu z.l.?

Czy ze zbieżności w sensie \(\displaystyle{ L^p}\) (według p-tego momentu) wynika zbieżność jednostajna?

Czy ze zbieżności prawie wszędzie wynika zbieżność w sensie \(\displaystyle{ L^p}\) ?

Czy ze zbieżności według prawdopodobieństwa wynika zbieżność w sensie \(\displaystyle{ L^p}\) ?

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 20 kwie 2009, o 21:16

Tu znajdziesz odpowiedzi na swoje pytania.

Przy czym zbieżność średniokwadratowa jest to oczywiscie szczególny przypadek zbieżności w \(\displaystyle{ L^p}\), tj. w \(\displaystyle{ L^2}\).

bulva · Post autor: **bulva** » 20 kwie 2009, o 22:38

Bardzo dobry artykuł, czytałem już wcześniej . Wciąż jednak mam wątpliwości co do pierwszych dwóch pytań. W zasadzie w obu przypadkach powinno dojść do sprzeczności, ale pewien nie jestem... Najlepszy byłby jakiś kontrprzykład.

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 21 kwie 2009, o 19:32

Zbieżność jednostajna i punktowa są mocniejsze od wszystkich pozostałych tutaj wymienionych.

Spójrz na to tak:
Ciąg zmiennych losowych jest określony na pewnej przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ \Omega}\). Ustalamy na chwilę jeden punkt \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) i pytamy się czy zachodzi w nim zbieżność tj.:
\(\displaystyle{ X_n(\omega) -> X(\omega)}\)

Jeśli coś takiego zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\) to mamy tradycyjną zbieżność punktową. W rachunku prawdopodobieństwa rzadko cokolwiek dzieje się dla każdego \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\), dlatego czesto wymagamy znacznie mniej i zadowalamy sie gdy powyższa zbieżność zachodzi tylko na pewnych wybranych \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\), które w sumie tworzą zbiór pełnej miary.