suma wylosowanych liczb podzelna przez 3

[dee_jay]

Ze zbioru \(\displaystyle{ A=\{1,2,3,...,102\}}\) losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.

[Kajot]

liczby z tego zbioru dzielimy na trzy grupy, ktore przedstawic mozemy jako
\(\displaystyle{ 3k \\
3k+1 \\
3k+2 \\}\)
dla pewnych całkowitych k
w kazdej z tych grup jest po 34 liczby

suma dwoch liczb bedzie podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy jesli obie beda nalezaly do grupy pierwszej lub jedna do drugiej i druga do trzeciej (bo \(\displaystyle{ (3k+1)+(3k+2)=6k+3=3(2k+1)}\) a niewatpliwie \(\displaystyle{ 3|3(2k+1)}\))

tak wiec moc omegi to \(\displaystyle{ {102 \choose 2}}\) a moc zdarzenia A (czyli zd. ze wylosowane dwie liczby beda spelniac warunek, iz ich suma jest podzielna przez 3) to suma wspomnianych dwoch satysfakcjonujacych przypadkow losowań, czyli \(\displaystyle{ 34*33+34*34=34*67}\), podstawienie i rachunki zostawiam Tobie, bo nie mam kartki zadnej przy sobie akurat

[dee_jay]

odpowiedź ma być \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

nie wychodzi... ale gdybym nie znał odpowiedzi uwierzyłbym- fajny sposób:D
jeżeli omega to \(\displaystyle{ 5151}\), to moc A powinna wyjść\(\displaystyle{ 1717}\) a Tobie wyszło \(\displaystyle{ 2412}\).

[klaustrofob]

modyfikacja sposobu Kajota: dla każdej liczby mogę na pewną liczbę sposobów dobrać drugą w ten sposób, by otrzymać parę, której suma bedzie podzielna przez 3. jeżeli dana liczba jest podzielna przez 3, to wyboru takiego mogę dokonać na 33 sposoby zatem łącznie mam 33*34 wybory. jeżeli liczba nie jest podzielna przez 3, to wyboru takiego mogę dokonać na 34 sposoby, łącznie: 68*34. ale w takiej procedurze zliczania każda liczba liczona jest dwukrotnie (jak przekątne w wielokącie, uściski dłoni, itd.). zatem, poprawny wynik to (33*34+68*34)/2=101*34/2=1717. Kajot po prostu raz nie uwzględnił kolejności (liczba wszystkich wyborów par), drugi raz uwzględniał (częściowo - w pierwszym składniku - drugi jest poprawny, 34*34=68/2 * 34). teraz widzę, że "czysty" sposób Kajota jest nawet ładniejszy, trzeba tylko nie uwzględniać kolejności w pierwszym, tj. podzielić pierwszy składnik końcowej sumy przez 2.

[Karka]

dlaczego napisałeś 34*68? a nie 34*34? Liczb niepodzielnych jest 68 ale 34 jest takich ze 3n+1 i 34 takich: 3n+2. Skad się wzielo 68?