w zbiorze \(\displaystyle{ \mathcal{Z} = \{ -2n +1, -2n +3, \ldots, -3, -1, 0, 1, 3, ..., 2n-3, 2n-1, \}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dodatnią liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 4}\), zmieniono znaki na przeciwne trzem losowo wybranym liczbom. Wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że suma wszytskich liczb w zbiorze nie uległa zmianie wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{161}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ n}\).
proszę o pomoc w rozwiązaniu i zrozumieniu tego zadania. mam odpowiedzi do niego jednak nie wiem jak do nich dojsc. po prostu chcialabym to zrozumiec. z gory dziekuje :*
wyznacz n znając prawdopodobieństwo
- lina2002
- Użytkownik
- Posty: 599
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 151 razy
wyznacz n znając prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ \overline{\overline \Omega}= {2n-1 \choose 3}}\) - bo jest \(\displaystyle{ 2n-1}\) elementów zbioru.
Jeżeli zmienisz trzem liczbom znaki na przeciwne to zmienisz znak na przeciwny sumie tych trzech liczb. Skoro ona ma pozostać bez zmian to musi wynosić 0. Gdyby żadną z trzech wybranych liczb nie było 0, to ich suma byłaby nieparzysta (suma trzech liczb nieparzystych jest nieparzysta). Tak więc musisz wybrać 0. Oprócz tego jeszcze dwie liczby przeciwne (bo suma ma dawać 0), czyli wybierasz jedną liczbę dodatnią i bierzesz do niej przeciwną. Liczbę dodatnią możesz wybrać na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów. A-suma nie uległa zmianie. \(\displaystyle{ \overline {\overline A}=n-1}\). Policz P(A) i przyrównaj z \(\displaystyle{ \frac{1}{161}}\) . Otrzymasz równanie: \(\displaystyle{ \frac{6(n-1)}{(2n-1)(2n-2)(2n-3)}= \frac{1}{161}}\), z którego możesz wyliczyć \(\displaystyle{ n}\).
Jeżeli zmienisz trzem liczbom znaki na przeciwne to zmienisz znak na przeciwny sumie tych trzech liczb. Skoro ona ma pozostać bez zmian to musi wynosić 0. Gdyby żadną z trzech wybranych liczb nie było 0, to ich suma byłaby nieparzysta (suma trzech liczb nieparzystych jest nieparzysta). Tak więc musisz wybrać 0. Oprócz tego jeszcze dwie liczby przeciwne (bo suma ma dawać 0), czyli wybierasz jedną liczbę dodatnią i bierzesz do niej przeciwną. Liczbę dodatnią możesz wybrać na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów. A-suma nie uległa zmianie. \(\displaystyle{ \overline {\overline A}=n-1}\). Policz P(A) i przyrównaj z \(\displaystyle{ \frac{1}{161}}\) . Otrzymasz równanie: \(\displaystyle{ \frac{6(n-1)}{(2n-1)(2n-2)(2n-3)}= \frac{1}{161}}\), z którego możesz wyliczyć \(\displaystyle{ n}\).
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2009, o 23:06 przez lina2002, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
wyznacz n znając prawdopodobieństwo
lina2002 skąd wzięło Ci się, że liczba elementów zbioru \(\displaystyle{ Z}\) wynosi \(\displaystyle{ 2n-1}\)? I skąd ta moc zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
wyznacz n znając prawdopodobieństwo
Elementów zbioru jest \(\displaystyle{ 2n+1}\) (czytaj dalej, a dowiesz się dlaczego). W każdej trójce wybranych liczb, aby ich suma wynosiła zero (aby wybór ten nie zmieniał sumy wszystkich liczb w zbiorze, zgodnie z treścią zadania) musi znaleźć się liczba zero oraz para liczb przeciwnych. Na "lewo" od zera jest \(\displaystyle{ n}\) liczb ujemnych nieparzystych dla wybranego \(\displaystyle{ n>4}\). Na "prawo" od zera jest dokładnie tyle samo liczb dodatnich nieparzystych, a więc takich szukanych trójek liczb będzie oczywiście \(\displaystyle{ n}\) (zero jest w każdej trójce). Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc \(\displaystyle{ \frac{n}{{2n+1\choose 3}}}\).
- lina2002
- Użytkownik
- Posty: 599
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 151 razy
wyznacz n znając prawdopodobieństwo
Racja, elementów większych (mniejszych) od zera jest \(\displaystyle{ n}\), a ja źle policzyłam i wszędzie wstawiłam \(\displaystyle{ n-1}\) (dlatego liczba elementów zbioru wyszła mi \(\displaystyle{ 2(n-1)+1=2n-1}\) itd.) . Pozostałe rzeczy bez zmian .