ciąg niezależnych powtórzeń- schemat bernoulliego?

[qba]

Witam,

Treść zadania z jakim mam problem to:
W meczu piłki nożnej z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) wygrają goście, \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) gospodarze, a z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) będzie remis.
Obliczyć prawdopodobieństwo że w 14 meczach będzie 7 zwycięstw gospodarzy i 3 remisy.

myślałem że mogło by to być
\(\displaystyle{ {14\choose 7} (\frac{1}{2})^{7} (\frac{1}{2})^{7}
{7\choose 3} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{4}
{4\choose 4} (\frac{1}{6})^{4} (\frac{5}{6})^{0}}\)
czyli
\(\displaystyle{ {14\choose 7} (\frac{1}{2})^{8}
{7\choose 3} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{4}
(\frac{1}{6})^{4}}\)

czy tak?

[lina2002]

Po pierwsze \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}) ^{7} \cdot ( \frac{1}{2}) ^{7}= (\frac{1}{2}) ^{14}}\). a po drugi to rozwiązanie i tak nie jest poprawne. Powinieneś najpierw wybrać, które mecze wygrają gospodarze - \(\displaystyle{ {14 \choose 7}}\), następnie które mają być zremisowane - \(\displaystyle{ {7 \choose 3}}\), a pozostałe wygrają goście (jak chcesz to mozesz sobie napisać \(\displaystyle{ {4 \choose 4}}\) ). Zauważ, że prawdopodobieństwo każdego z "układów" to \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}) ^{7} \cdot (\frac{1}{3}) ^{3} \cdot ( \frac{1}{6}) ^{4}}\). Tak więc szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ {14\choose 7} {7\choose 3} (\frac{1}{2})^{7}
(\frac{1}{3})^{3}
(\frac{1}{6})^{4}}\).
Zastoswałeś wzór na ze schematu Bernoulliego nie zastanaiając się z czego on wynika;).

Pozdrawiam.

[qba]

thx lina2002
mogłabyś może pokierować mnie troszkę dokładniej co do ogólnego użycia tego schematu?
głównie chodzi mi właśnie o to z czego on wynika

[lina2002]

W schemacie Bernoulliego dla dwóch zdarzeń musisz miec zdarzenia, które się wykluczają i ich suma jest równa omedze (czyli zdarzenia przeciwne). Powtarzasz doświadczenie n razy. Wybierasz te razy kiedy miało zajśc zdarzenie pierwsze (zaszło k razy), czyli \(\displaystyle{ n \choose k}\). Niech prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia będzie równe p. W tak razie prawdopodobieństwo jednego układu będzie równe \(\displaystyle{ p ^{k} \cdot p' ^{k-1}}\)(to tak jakbyś szczytywał prawdopodobieństwa z drzewa). Po wymnożeniu wychodzi znany Ci wzór. Można go uogólnic na n zdarzeń, które się parami wykluczają i sumują do omegi.

[qba]

czyli jest podobnie jak podejrzewałem, dzięki, wyjaśniłaś mi parę niedomówień

BTW wiele osób mówi tu o rysowaniu drzewa,
nie było to u mnie wprowadzone,
czy ktoś może mnie troszkę oświecić na ten temat,
albo podpowiedzieć gdzie szukać materiałów?

[lina2002]

Polecam książkę Kombinatoryka prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek - Marek Zakrzewski, Tomasz Żak. Drzewka są bardzo proste. Znajdź jakieś przykładowe w intenecie i na pewno zrozumiesz. Na gałazkach pisze się prawdopodobieństwa dla zdarzenia, do którego ona dochodzi.