Pokaż, że funkcja jest gęstością p.

[kinga__89]

Pokaż że funkcja określona wzorem;

\(\displaystyle{ f _{p, \lambda}(x)= \begin{cases} \frac{\lambda ^{p}x ^{p-1}e ^{-\lambda x} }{T(p)} dla \; x \ge 0 \\ 0 \; dla \; x<0 \end{cases}}\)

dla p>0 oraz \(\displaystyle{ \lambda \in R}\) jest gestoscia

[soku11]

Czym jest funkcja T(p)?

Bo sama calka z gestosci wynosi:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{ \lambda^p x ^{p-1}e^{-\lambda x}}{T(p)}\mbox{d}x=
\frac{\lambda ^p}{T(p)} \int\limits_{0}^{+\infty} x^{p-1}e^{-\lambda x}\mbox{d}x=
\left\{\begin{array}{c}
-\lambda x=-t\\
\lambda x=t\\
\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{\lambda}
\end{array}\right\}=
\frac{\lambda ^p}{T(p)} \int\limits_{0}^{+\infty} \left(\frac{t}{\lambda}\right)^{p-1}e^{-t}\mbox{d}t=
\frac{\lambda ^p}{\lambda^{p-1}T(p)} \int\limits_{0}^{+\infty} t^{p-1}e^{-t}\mbox{d}t=
\frac{\lambda}{T(p)} \int\limits_{0}^{+\infty} t^{p-1}e^{-t}\mbox{d}t=
\frac{\lambda}{T(p)} \Gamma(p)}\)

Pozdrawiam.