gęstość

[Hania_87]

Sprawdzić czy funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \sigma } exp (- \frac{(x-m)^2}{2 \sigma ^2} )}\) , \(\displaystyle{ \sigma , m \in R, \sigma>0}\) są gęstościami (jednowymiarowych rozkładów absolutnie ciągłych).



Problemy mam z całką:
\(\displaystyle{ \int_{R} \frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \sigma }e ^{- \frac{(x-m)^2}{2 \sigma ^2} }}\)

[soku11]

Calka jako calka nieoznaczona jest nieelementarna, jednak tutaj warto skorzystac z faktu, ze:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\mbox{d}x=\sqrt{\pi}\\}\)

Trzeba wiec sprowadzic twoja calke do podobnej postaci i zastosowac powyzszy 'wzor':
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
\int\limis_{-\infty}^{+\infty} e ^{-\frac{(x-m)^2}{2 \sigma ^2} }\mbox{d}x=
\left\{\begin{array}{c}
u^2=\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\\
u=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}\\
\mbox{d}x=\sqrt{2}\sigma\mbox{d}u
\end{array}\right\}=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
\int\limis_{-\infty}^{+\infty} e ^{-u^2 }\sqrt{2}\sigma\mbox{d}u=
\frac{1}{\sqrt{\pi}}
\int\limis_{-\infty}^{+\infty} e ^{-u^2 }\mbox{d}u=
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot \sqrt{\pi}=1}\)
Czyli jest to gestosc.

BTW. W podstawieniu pominalem obliczenie nowych granic calkowania, gdyz oczywiscie pozostana one niezmienione
Pozdrawiam.

[Emiel Regis]

Tutaj jest pełniejsze wyliczenie w/w całki:

Rozkład normalny