Witam,
mam problem z rozwiązaniem pewnego zadania czy mógłby mi ktoś pomóc. Z gory dziekuje
oto ono
wśród 10 losów loterii znajduje się jeden los na główną wygraną oraz dwa losy uprawniające do bezpłatnego wyciągnięcia następnego losu.Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania głównej wygranej przy zakupie jednego losu i maksymalnym wykorzystaniu uprawnień?-- 27 mar 2009, o 16:36 --ok, przepraszam nie wiedziałm
Losy a szansa głównej wygranej
Losy a szansa głównej wygranej
Ostatnio zmieniony 27 mar 2009, o 15:53 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj słów typu "Pomocy", "Pilne" w temacie!
Powód: Nie stosuj słów typu "Pomocy", "Pilne" w temacie!
-
silvaran
- Użytkownik
- Posty: 1300
- Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 123 razy
Losy a szansa głównej wygranej
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{10} + \frac{2}{10} \cdot ( \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{8} )}\)
po kolei:
możemy odrazu wylosować los wygrywający z szansą 1/10
lub wylosować ten uprawniający do dalszego losowania z szansą 2/10 a później:
albo trafić wygrywający z szansą 1/9 lub kolejny uprawniający do dalszej gry również z szansą 1/9 i wtedy losujemy dalej i możemy wyciągnąć wygrywający z szansą 1/8
po kolei:
możemy odrazu wylosować los wygrywający z szansą 1/10
lub wylosować ten uprawniający do dalszego losowania z szansą 2/10 a później:
albo trafić wygrywający z szansą 1/9 lub kolejny uprawniający do dalszej gry również z szansą 1/9 i wtedy losujemy dalej i możemy wyciągnąć wygrywający z szansą 1/8
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Losy a szansa głównej wygranej
Zadanie
Wśród \(\displaystyle{ 10 }\) losów loterii znajduje się \(\displaystyle{ 1 }\) los na główną wygraną oraz \(\displaystyle{ 2 }\) losy uprawniające do bezpłatnego wyciągnięcia następnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania głównej wygranej przy zakupie jednego losu i maksymalnym wykorzystaniu uprawnień.
To jedno z zadań egzaminacyjnych na egzaminie wstępnym na matematykę i informatykę w uniwersytetach i wyższych szkołach pedagogicznych na rok akademicki 1975-1976.
Doświadczenie losowe opisane ma losową liczbę etapów - zależną od wyniku losowania w etapie poprzednim.
Najistotniejszą częścią rozwiązania jest zbudowanie modelu probabilistycznego.
Dokonując zakupu jednego losu możemy mieć prawo do jednokrotnego, dwukrotnego lub trzykrotnego losowania.
Doświadczenie \(\displaystyle{ D }\) składa się z trzech doświadczeń:
\(\displaystyle{ D_{1}}\) - polegającego na jednokrotnym losowaniu, gdy nie mamy prawa losować więcej razy,
\(\displaystyle{ D_{2} }\) - polegającego na dwukrotnym losowaniu, gdy nie mamy prawa losować trzeci raz,
\(\displaystyle{ D_{3} }\) - polegającego na trzykrotnym losowaniu.
Oznaczmy \(\displaystyle{ \Omega_{1}, \ \ \Omega_{2}, \ \ \Omega_{3} }\) zbiory zdarzeń elementarnych sprzyjających odpowiednio doświadczeniom \(\displaystyle{ D_{1}, D_{2}, D_{3}. }\)
Wtedy \(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{\omega_{0}, \omega_{1}\} }\)
\(\displaystyle{ \omega_{0} }\) - wylosowano los pusty
\(\displaystyle{ \omega_{1} }\) - wylosowano los z główną wygraną.
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{ (\omega_{2}, \omega_{0}), (\omega_{2}, \omega_{1}) \} }\)
\(\displaystyle{ \omega_{2} }\) - wyciągnięcie losu uprawniającego do następnego losowania.
\(\displaystyle{ \Omega_{3} = \{(\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{0}), \ \ (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1})\} }\)
Obliczymy prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P }\) poszczególnych zdarzeń elementarnych.
\(\displaystyle{ P(\{\omega_{0}\}) = \frac{7}{10}, \ \ P(\{\omega_{1}\} )= \frac{1}{10}, \ \ P(\{(\omega_{2}, \omega_{0})\}) = \frac{2}{10}\cdot \frac{7}{9}, \ \
P(\{(\omega_{2}, \omega_{1})\}) = \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}, \ \ P(\{(\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{0})\}) = \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{7}{8}, }\)
\(\displaystyle{ P(\{(\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1})\})= \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{8} }\)
Para \(\displaystyle{ (\Omega, P ) }\)jest modelem całego doświadczenia, gdzie \(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} \cup \Omega_{3} }\)
\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega_{0}, \omega_{1}, (\omega_{2}, \omega_{0}), (\omega_{2}, \omega_{1}), (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{0}), (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1}) \}.}\)
Zdarzeniu \(\displaystyle{ W }\) - wylosowania głównej nagrody, sprzyjają zdarzenia
\(\displaystyle{ W = \{ \omega_{1}, (\omega_{2}, \omega_{1}), (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1}) \}. }\)
Zatem
\(\displaystyle{ P(W) = \frac{1}{10} + \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}. }\)
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 12,5\% }\) ogólnej liczby jego wyników, wylosujemy los głównej wygranej i maksymalnie wykorzystując swoje uprawnienia.
Wśród \(\displaystyle{ 10 }\) losów loterii znajduje się \(\displaystyle{ 1 }\) los na główną wygraną oraz \(\displaystyle{ 2 }\) losy uprawniające do bezpłatnego wyciągnięcia następnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania głównej wygranej przy zakupie jednego losu i maksymalnym wykorzystaniu uprawnień.
To jedno z zadań egzaminacyjnych na egzaminie wstępnym na matematykę i informatykę w uniwersytetach i wyższych szkołach pedagogicznych na rok akademicki 1975-1976.
Doświadczenie losowe opisane ma losową liczbę etapów - zależną od wyniku losowania w etapie poprzednim.
Najistotniejszą częścią rozwiązania jest zbudowanie modelu probabilistycznego.
Dokonując zakupu jednego losu możemy mieć prawo do jednokrotnego, dwukrotnego lub trzykrotnego losowania.
Doświadczenie \(\displaystyle{ D }\) składa się z trzech doświadczeń:
\(\displaystyle{ D_{1}}\) - polegającego na jednokrotnym losowaniu, gdy nie mamy prawa losować więcej razy,
\(\displaystyle{ D_{2} }\) - polegającego na dwukrotnym losowaniu, gdy nie mamy prawa losować trzeci raz,
\(\displaystyle{ D_{3} }\) - polegającego na trzykrotnym losowaniu.
Oznaczmy \(\displaystyle{ \Omega_{1}, \ \ \Omega_{2}, \ \ \Omega_{3} }\) zbiory zdarzeń elementarnych sprzyjających odpowiednio doświadczeniom \(\displaystyle{ D_{1}, D_{2}, D_{3}. }\)
Wtedy \(\displaystyle{ \Omega_{1} = \{\omega_{0}, \omega_{1}\} }\)
\(\displaystyle{ \omega_{0} }\) - wylosowano los pusty
\(\displaystyle{ \omega_{1} }\) - wylosowano los z główną wygraną.
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{ (\omega_{2}, \omega_{0}), (\omega_{2}, \omega_{1}) \} }\)
\(\displaystyle{ \omega_{2} }\) - wyciągnięcie losu uprawniającego do następnego losowania.
\(\displaystyle{ \Omega_{3} = \{(\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{0}), \ \ (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1})\} }\)
Obliczymy prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P }\) poszczególnych zdarzeń elementarnych.
\(\displaystyle{ P(\{\omega_{0}\}) = \frac{7}{10}, \ \ P(\{\omega_{1}\} )= \frac{1}{10}, \ \ P(\{(\omega_{2}, \omega_{0})\}) = \frac{2}{10}\cdot \frac{7}{9}, \ \
P(\{(\omega_{2}, \omega_{1})\}) = \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}, \ \ P(\{(\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{0})\}) = \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{7}{8}, }\)
\(\displaystyle{ P(\{(\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1})\})= \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{8} }\)
Para \(\displaystyle{ (\Omega, P ) }\)jest modelem całego doświadczenia, gdzie \(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} \cup \Omega_{3} }\)
\(\displaystyle{ \Omega = \{ \omega_{0}, \omega_{1}, (\omega_{2}, \omega_{0}), (\omega_{2}, \omega_{1}), (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{0}), (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1}) \}.}\)
Zdarzeniu \(\displaystyle{ W }\) - wylosowania głównej nagrody, sprzyjają zdarzenia
\(\displaystyle{ W = \{ \omega_{1}, (\omega_{2}, \omega_{1}), (\omega_{2}, \omega_{2}, \omega_{1}) \}. }\)
Zatem
\(\displaystyle{ P(W) = \frac{1}{10} + \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}. }\)
W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 12,5\% }\) ogólnej liczby jego wyników, wylosujemy los głównej wygranej i maksymalnie wykorzystując swoje uprawnienia.