Baza rozkładu dyskretnego (jednowymiarowego)

[natkoza]

pokazać, ze zbiory:
a) \(\displaystyle{ \{(k,\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}):k\geq 0\},\lambda>0}\)
b) \(\displaystyle{ \{(k,p(1-p)^k):k\geq 0\},p\in (0,1)}\)

są bazami jednowymiarowych rozkładów dyskretnych

największy problem mam z pokazaniem, że odpowiednie sumy wynoszą 1

[Emiel Regis]

Przyznam, ze nie spotkalem sie z okresleniem bazy rozkladu, zapewne trzeba pokazac ze masa prawdopodobienstwa sumuje sie do jedynki.
W pierwszym korzystamy z rozwiniecia funkcji exp w szereg Maclaurina, a w drugiej mamy szereg geometryczny:

1)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1}\)

2)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}p(1-p)^k = \frac{p}{1-(1-p)}=1}\)

Jako ciekawostke powiem Ci, ze pierwszy rozklad jest to rozklad Poissona, a drugi to geometryczny.


Cos jeszcze jest wymagane, zeby miec baze rozkladu?
Intuicyjnie to jeszcze na pewno nieujemne musza być prawdopodobieństwa. Co rzecz jasna zachodzi u nas. Nic wiecej bym juz nie wymagał.

[natkoza]

dokładnie o to chodziło. Dzięki wielkie
teoretycznie w definicji bazy mieliśmy tylko, ze te masy sumują się do 1 i że odpowiedni ciąg w naszym przypadku to k jest ciagiem różnowartościowym, ale to akurat "widać" od razu, i dlatego miałam problem tylko z tymi sumami
Jeszcze raz wielkie dzięki