Funkcja prawdopodobieństwa

[QuusAmo]

Prosiłbym o pomoc w rozwianiu wątpliwości.
Mam następujące zadanie :
Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ f(x)=\left\lbrace\begin{matrix} \frac{1}{2} & x\in\left< -\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right> \\ 0 & x\not\in\left< -\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right> \end{matrix}}\)
Znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X^2}\)

Ponieważ nie jest to funkcja ściśle monotoniczna to korzystam z dystrybuanty:
\(\displaystyle{ F_1(y)=P(Y<y)=P(X^2<y)=P(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y}=F(\sqrt{y}-F(-\sqrt{y})=2F(\sqrt{y})-1}\)
Różniczkując obustronnie otrzymuję:
\(\displaystyle{ f_1(y)=\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot f(\sqrt{y})=\frac{1}{2\sqrt{y}}}\)
I tutaj zaczyna się moja wątpliwość.
Ja bym w tym momencie zaznaczył, że powyższa funkcja określona jest dla \(\displaystyle{ y\in \left( 0;\frac{9}{4}\right>}\), czyli niejako dla całej dziedziny wynikającej z funkcji prawdopodobieństwa.
Jednak na zajęciach rozbiliśmy to, licząc osobno dla \(\displaystyle{ x \in \left< -\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right>}\) oraz osobno dla \(\displaystyle{ x \in \left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right>}\), czyli jakby osobno rozpatrując przedział, gdzie funkcja \(\displaystyle{ h(x)=Y=X^2}\) nie jest różnowartościowa (ten pierwszy) oraz osobno tam gdzie jest różnowartościowa (ten drugi).
Nigdzie w książkach nie spotkałem się (może nie mam ich zbyt wiele, ale jednak kilka) z taką mieszaną sytuacją, bo albo funkcja była różnowartościowa, albo była nieróżnowartościowa w całej dziedzinie (tzn np \(\displaystyle{ X^2}\) określone w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), a nie w przedziale).
Stosując metodę jaką posłużyliśmy się na zajęciach otrzymałbym jeszcze drugą postać funkcji, obliczoną z dystrybuanty:
\(\displaystyle{ F_1(y) = P(Y<y)=P(X^2<y)=P(X<\sqrt{y})=F(\sqrt{y})}\)
Zatem \(\displaystyle{ f_1(y)=\frac{1}{4\sqrt{y}}}\) dla \(\displaystyle{ y\in \left<\frac{1}{4};\frac{9}{4}\right>}\)
I ostatecznie postać szukanego rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) wyglądałaby następująco :
\(\displaystyle{ f_1(y)= \left \lbrace \begin{matrix} \frac{1}{2\sqrt{y}} & y \in \left(0;\frac{1}{4}\right> \\ \frac{1}{4\sqrt{y}} & y \in \left(\frac{1}{4};\frac{9}{4}\right>\end{matrix}}\).
Ta druga metoda (tzn ta z zajęć) wydaje się logiczna, jednak nigdzie nie znalazłem takiego przykładu i wolałbym się upewnić . Z góry dzięki

[Emiel Regis]

Drugie rozwiązanie jest poprawne. Zauważ, że \(\displaystyle{ Y=X^2}\) jest funkcją symetryczną wzgledem zera wiec dopoki nosnik \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczny to "szansa wypadniecia odpowiedniego Y=y jest dwa razy wieksza". Co potwierdza otrzymana przez Ciebie gestosc.

Jeszcze jedna praktyczna uwaga, gdy wyliczysz "gestosc", a masz watpliwosci czy jest wszystko dobrze to sprawdz czy sie calkuje do 1. U Ciebie pierwsza otrzymana funkcja nie jest gestoscią.