W szufladzie znajduje się 15 kartek ponumerowanych

[mariusz689]

W szufladzie znajduje się \(\displaystyle{ 15}\) kartek ponumerowanych od \(\displaystyle{ 1}\)do \(\displaystyle{ 15}\). Losujemy kolejno\(\displaystyle{ 5}\) bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że numer trzeciej z wylosowanych jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\) i jednocześnie numer piątej jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 5}\)

[Baca48]

A - zdarzenie, takie, że numer na trzeciej wylosowanej kartce będzie podzielny przez 3 i jednocześnie numer na piątej będzie podzielny przez 5

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = V_{15}^{5} = \frac{15!}{10!} = 15*14*13*12*11}\)

Trzeba rozważyć dwa przypadki:

a) na trzeciej kartce może być 3,6,9 lub 12, a na ostatniej 5,10 lub 15

_ _ (3,6,9,12) _ (5,10,15)

\(\displaystyle{ 4 *3 * V_{13}^{3} = 4 * 3 * \frac{13!}{10!} = 4*3*13*12*11}\)

b) na trzeciej kartce została wylosowana liczba 15, wtedy na ostatniej nie może być już 15 (losujemy bez zwracania)

_ _ (15) _ (5, 10)

\(\displaystyle{ 1 * 2 * V_{13}^{3} = 2 * \frac{13!}{10!} = 2*13*12*11}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} = 4*3*13*12*11 + 2*13*12*11 = 14*13*12*11}\)


\(\displaystyle{ P(A) = \frac {\overline{\overline{A}}}{\overline{\overline{\Omega}}}}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{15}}\)

Pozdrawiam

[major37]

Nie rozumiem. Pierwsza możliwość że na trzeciej kartce jest jedna z czterech liczb a na piątej jedna z 3 liczb więc jest ok. A teraz druga możliwość że liczba 15 należy do trzeciej kartki więc mamy (3,6,9,12,15) a na piątej kartce wtedy może być (5,10) więc \(\displaystyle{ 5 \cdot 2}\). Bo w tym pierwszym przypadku jest że liczba 15 należy do piątej kartki więc na piątej kartce może być (5,10,15) a wtedy na trzeciej (3,6,9,12) więc mamy \(\displaystyle{ 3 \cdot 4}\). I ten pierwszy przypadek rozumiem ale mam problem z drugim. Dlaczego nie jest tak jak piszę ?

[mat_61]

Dlatego, że Twój sposób liczenia wielokrotnie uznawałby za różne takie same warianty losowania. Przykładowo w obydwu wariantach moglibyśmy wylosować taki zestaw: \(\displaystyle{ - \ - \ 6 \ - \ 10}\)

-----------------------------------

Generalnie na trzecim miejscu mogą być liczby:

\(\displaystyle{ \left\{ 3,6,9,12,15\right\}}\)

natomiast na piątym:

\(\displaystyle{ \left\{ 5;10;15\right\}}\)

Ponieważ liczby nie mogą się powtarzać a powyższe zbiory nie są rozdzielne (w obydwu występują liczba \(\displaystyle{ 15}\)) to nie można wybierać po jednej z liczb z każdego zbioru bo mogłoby się zdarzyć, że wybierzemy w obydwu przypadkach liczbę \(\displaystyle{ 15}\). I teraz możemy "ominąć" ten problem na dwa sposoby:

I. podany przez Baca48 który opiera się na takim schemacie (nazwijmy go umownie dodawaniem przypadków):

Jeżeli na trzecie miejsce wybierzemy liczbę różną od \(\displaystyle{ 15}\) to wówczas na piątym miejscu wybieramy liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 5;10;15\right\}}\) natomiast jeżeli na trzecim miejscu wybierzemy liczbę \(\displaystyle{ 15}\) to ówczas na piątym miejscu wybieramy liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 5;10\right\}}\). To jest chyba jasne. Schematycznie można więc zapisać wybór trzeciej i piątej liczby jako:

\(\displaystyle{ \left( \left\{ 3,6,9,12\right\} \xrightarrow{\mbox{wybieramy ze zbioru}} \left\{ 5;10;15\right\} \right) \cup \left( \left\{ 15\right\} \xrightarrow{\mbox{wybieramy ze zbioru}} \left\{ 5;10\right\} \right)}\)

Uwzględniając dowolny wybór pozostałych trzech liczb mamy:

\(\displaystyle{ \left( 4 \cdot 3+1 \cdot 2\right) \cdot V^{3}_{13}}\)

II. Alternatywny, który opiera się na takim schemacie (nazwijmy go umownie odejmowaniem przypadków):

Uwzględniamy wszystkie możliwe warianty w których dla trzeciego miejsca będą liczby ze zbioru: \(\displaystyle{ \left\{ 3,6,9,12,15\right\}}\) i dla piątego miejsca liczby ze zbioru: \(\displaystyle{ \left\{ 5;10;15\right\}}\) i odejmujemy te warianty które nie odpowiadają warunkom zadania. W tym przypadku będzie tylko jeden taki "niedozwolony" wariant \(\displaystyle{ \left( 15;15\right)}\)

Uwzględniając dowolny wybór pozostałych trzech liczb mamy:

\(\displaystyle{ \left( 5 \cdot 3-1) \cdot V^{3}_{13}}\)

Mam nadzieję, że teraz nie masz już wątpliwości?

[major37]

Już zrozumiałem Dzięki wielkie za pomoc Nigdy nie słyszałem o tym odejmowaniu Przyda się Jeszcze raz wielkie THX