Prawdopodobieństwo sukcesu

[justyna0811]

Powtarzamy eksperyment o prawdopodobieństwie sukcesu p. Niech N
oznacza liczbę porażek poprzedzających pierwszy sukces. Pokaż, że
\(\displaystyle{ P(N > m + n j N > m) = P(N > n) dla m,n}\) \(\displaystyle{ \geqslant 0}\)

[soku11]

Hmpf... Jesli dobrze sie domyslam co ten zapis oznacza (szczegolnie intrygujacy jest pierwszy nawias), to odrazu widac, ze jest to zasada o braku pamieci(czy jakos tak). No ale jesli trzeba udowodnic, to prosze:
\(\displaystyle{ p\in[0;1]\\
P(N=0)=p\\
P(N=1)=(1-p)p\\
P(N=2)=(1-p)^2p\\
P(N=n)=(1-p)^np\\
P(N>m)=1-P(N\le m)=
1-\sum_{i=0}^{m}P(N=i)=
1-[p+(1-p)p+(1-p)^2p+(1-p)^3p+\ldots+(1-p)^mp]\\
p+(1-p)p+(1-p)^2p+(1-p)^3p+\ldots+(1-p)^mp\\
a_1=p\\
q=1-p\\
S_m=p\frac{1-(1-p)^m}{1-(1-p)}=
S_m=p\frac{1-(1-p)^m}{1-1+p}=
S_m=1-(1-p)^m\\
P(N>m)=1-[1-(1-p)^m]=(1-p)^m\\
P(N>m+n)=(1-p)^{m+n}\\
P(N>m+n\;\wedge\;N>m)=(1-p)^{m+n}\cdot (1-p)^{-m}=(1-p)^m\cdot (1-p)^n\cdot (1-p)^{-m}=
(1-p)^n=P(N>n)\\}\)

Pozdrawiam.