prawdopodobieństwo (bilety, budynek, kostki)

[mostostalek]

zad. 1. klasa liczy 16 dziewczyn i 12 chłopców. Wśród uczniów tej klasy rozlosowano 2 bilety na koncert. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba bilety wylosowały dziewczyny?
zad 2. Na parterze 8 - piętrowego domu wsiadło do windy 6 osób. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie osoby wsiadają na tym samym piętrze.
zad. 3. Rzucamy dwukrotnie kostką. jakie jest prawdopodobieństwo,że w sumie uzyskamy 8 oczek, pod warunkiem, że w pierwszym rzucie wypadnie 6 oczek.

ad.1. zadanie dość proste.. liczbę możliwości rozdzielenia dwóch biletów między dziewczyny dzielimy przez liczbę możliwości rozdzielenia tych biletów na całą klasę.

\(\displaystyle{ |A|={12 \choose 2}=\frac{12!}{2! \cdot 10!}=\frac{132}{2}=66 \\ |\Omega|={28 \choose 2}=\frac{27 \cdot 28}{2}=378}\)
skąd: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{66}{378}=\frac{11}{63}}\)

ad.2. każdej osobie przyporządkowujemy piętro na którym wysiada na \(\displaystyle{ |\Omega|=8^{6}}\) sposobów bo pierwsza może wysiąść na jednym z 8 pięter, druga osoba na jednym z 8 itd.. Zdarzenie A polega na tym, że wszystkie osoby wysiadają na jednym piętrze.. wybieramy więc tylko piętro na którym wysiadają wszystkie osoby \(\displaystyle{ |A|=8}\)
stąd: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{8}{8^{6}}=\frac{1}{8^{5}}}\)

ad.3. niby prawdopodobieństwo warunkowe, ale zdarzenia rzucania oboma kostkami są niezależne bo wynik na drugiej kostce nie zależy od tego ile oczek wypadło na pierwszej i na odwrót więc wystarczy obliczyć prawdopodobieństwo, że na drugiej kostce wypadną 8-6=2 oczka.. to jest oczywiście \(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{6}}\)

gdyby liczyć z warunkowego:

A - zdarzenie polegające na wyrzuceniu 8 oczek w sumie na obu kostkach
B - zdarzenie polegające na tym, że na pierwszej kostce wypada "szóstka"
\(\displaystyle{ A \cap B}\) - zdarzenie polegające na tym, że na pierwszej kostce wypada "szóstka" oraz w sumie na obu kostkach wypada 8 oczek.

\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=...}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=\frac{1}{36}}\) - na pierwszej kostce wypada 6 i na drugiej 2, żeby w sumie dało 8.. wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kostkami jest 36 a para (6,2) jest tylko jednym z nich.
\(\displaystyle{ ...=P(A|B)=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}}\)

[djszaman]

ad. 1. \(\displaystyle{ |A| = {16 \choose 2}}\)