przestrzeń probabilistyczna

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
natkoza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2278
Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 602 razy

przestrzeń probabilistyczna

Post autor: natkoza »

pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ ( \omega , \mathcal{A} , P)}\) jest przestrzenia probabilistyczną, to dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \in \mathcal{A}}\) jest:
\(\displaystyle{ P(A)+P(A' \cap B)=P(B)+P(B' \cap A)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)
oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ A_1, ..., A_n \in \mathcal{A}}\) jest:
\(\displaystyle{ P( \bigcup_{k=1}^{n} A_k)= \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \sum_{1 \le j_1 \le ... \le j_k \le n}P( \bigcap_{l=1}^{k} A_{j_{l}})}\).
Uprość powyższy wzór przy dodatkowym założeniu, że
\(\displaystyle{ \bigwedge_{1 \le k \le n} \bigwedge_{1 \le j_1 \le ... \le j_k \le n} P( \bigcap_{l=1}^{k}A_{j_l} )=P( \bigcap_{l=1}^{k}A_l)}\).
Wreszcie sprawdzić, że jesli \(\displaystyle{ A_n \in \mathcal{A}}\) są takimi zdarzeniami, że \(\displaystyle{ P(A_n)=1}\) dla\(\displaystyle{ n \in N}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ \mathcal{N} \in N}\) jest:
\(\displaystyle{ P( \bigcap_{n=1}^{ \mathcal{N}}A_n )=1=P( \bigcap_{n=1}^{ \infty}A_n )}\).
ODPOWIEDZ