n rozróżnialnych kul umieszczamy w n urnach. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, ze
(a) dokładnie jedna urna będzie pusta
(b) dokładnie dwie urny będą puste
Rozwiązać zadanie przyjmując, ze kule są nierozróżnialne.
rozmieszczenie kul w urnach
-
buba72
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 30 sty 2009, o 10:56
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 17 razy
rozmieszczenie kul w urnach
Zrobiłabym to tak
(a)
\(\displaystyle{ C^{1}_{n} \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)...... \cdot 1 \cdot (n-1)}\) bo:
po pierwsze musimy wybrać jedną pustą stąd urnę z pośród n urn stąd \(\displaystyle{ C^{1}_{n}}\), a następnie jak już została wybrana to pierwszą kulę możemy włożyć na (n-1) sposobów - bo ta jedna pusta odpadła, drugą kulę na (n-2) sposoby bo ta pierwsza (pusta) odpadła i ta druga (z tą pierszą kulą) też już odpadła itd, powstanie nam sytuacja że jedną urnę mamy pustą i w reszcie urn mamy po jednej kuli, ale została nam jeszcze jedna kula którą możemy włożyć na (n-1) sposobów (bo ta jedna ciągle zostaje pusta).
ostatecznie jak zastosujemy wzory to wyjdzie
\(\displaystyle{ n! \cdot (n-1)}\)
(b)
podobnie najpierw wybór 2 urn sposród n, kolejność nie jest istotna - to stosujemy wzór na kombinacje, pierwszą kulę możemy włożyć na (n-2) sposoby, drugą na (n-3) sposoby i tak aż do 1,
w tym przypadku jak już (oprócz tych dwóch pustych) zapełnimy pozostałe urtny to pozostają dwie kule które możemy włożyć na (n-2) i tą drugą też na (n-2) a zatem
\(\displaystyle{ C^{2}_{n} \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)...... \cdot 1 \cdot (n-2) \cdot (n-2)}\)
(a)
\(\displaystyle{ C^{1}_{n} \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)...... \cdot 1 \cdot (n-1)}\) bo:
po pierwsze musimy wybrać jedną pustą stąd urnę z pośród n urn stąd \(\displaystyle{ C^{1}_{n}}\), a następnie jak już została wybrana to pierwszą kulę możemy włożyć na (n-1) sposobów - bo ta jedna pusta odpadła, drugą kulę na (n-2) sposoby bo ta pierwsza (pusta) odpadła i ta druga (z tą pierszą kulą) też już odpadła itd, powstanie nam sytuacja że jedną urnę mamy pustą i w reszcie urn mamy po jednej kuli, ale została nam jeszcze jedna kula którą możemy włożyć na (n-1) sposobów (bo ta jedna ciągle zostaje pusta).
ostatecznie jak zastosujemy wzory to wyjdzie
\(\displaystyle{ n! \cdot (n-1)}\)
(b)
podobnie najpierw wybór 2 urn sposród n, kolejność nie jest istotna - to stosujemy wzór na kombinacje, pierwszą kulę możemy włożyć na (n-2) sposoby, drugą na (n-3) sposoby i tak aż do 1,
w tym przypadku jak już (oprócz tych dwóch pustych) zapełnimy pozostałe urtny to pozostają dwie kule które możemy włożyć na (n-2) i tą drugą też na (n-2) a zatem
\(\displaystyle{ C^{2}_{n} \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4)...... \cdot 1 \cdot (n-2) \cdot (n-2)}\)