Dysonans poznawczy rzutu kostką

[Fukuro]

Rzucamy zwykłą kostką do momentu wypadnięcia piątki, a X oznacza liczbę wykonanych rzutów (wliczając rzut, w którym wypadła piątka). Odpowiedź TAK/NIE i wyjaśnij:
\(\displaystyle{ P(X>20)= \left(\frac{5}{6}\right)^{20}}\)
\(\displaystyle{ P(X>8|X>5)=P(X>3)}\)

Zadanie z pewnością jest proste, ale wciąż nam coś w nim umyka. Doszliśmy do wniosku, że w obu przypadkach powinno być TAK, lecz nie umiemy tego dobrze uzasadnić (jest to kwestia "kobiecej" intuicji, jak to mawia nasz profesor).

Z góry dziękuję za wszelką pomoc i pozdrawiam.

[sigma_algebra1]

Jest to rozkład geometryczny, opisujacy że w procesie Bernouliego pierwszy sukces pojawi sie w k-tej próbie (choc moze tez byc przesuniety tzn definiowany jako liczba porażek pezrd pierwszym sukcesem i wtedy ma trochę inna postac), przyjmujac pierwsza definicje ma on postac:

\(\displaystyle{ P(X=k)=p(1-p)^{k-1}}\)

gdzie p to prawdopodobienstwo sukcesu w pojedynczej próbie

i rzeczywiscie prawdopodobienstwo ze pierwszy sukces pojawi sie po 20 próbie to włanie:

\(\displaystyle{ ( \frac{5}{6} )^{20}}\)

w drugim przypadku tez prawda, co wiecej jest to tzw. własność braku pamieci, ktora rozklad geometryczny spełnia :

\(\displaystyle{ P(X>8|X>5) = \frac{P(\{X>8\} \cap \{X>5\})}{P(X>5)} = \frac{P(X>8)}{P(X>5)} =\frac{ (\frac{5}{6})^{8} }{ (\frac{5}{6})^{5}} = (\frac{5}{6} )^3}\)

[Janek Kos]

Tytuł: Dysonans poznawczy rzutu kostką Odpowiedz z cytatem
Jest to rozkład geometryczny, opisujacy że w procesie Bernouliego pierwszy sukces pojawi sie w k-tej próbie (choc moze tez byc przesuniety tzn definiowany jako liczba porażek pezrd pierwszym sukcesem i wtedy ma trochę inna postac), przyjmujac pierwsza definicje ma on postac:

P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

gdzie p to prawdopodobienstwo sukcesu w pojedynczej próbie

i rzeczywiscie prawdopodobienstwo ze pierwszy sukces pojawi sie po 20 próbie to włanie:

( frac{5}{6} )^{20}

Ale przecież gdy podstawić do wzoru, który napisałaś, to:

\(\displaystyle{ P(X=21)=\frac{1}{6}\cdot (\frac{5}{6})^{20}=\frac{5^{20}}{6^{21}}}\)

Druga sprawa, to z treści zadania wynika, że należy policzyć p-stwo sytuacji, że 5 wypadnie po 20-tym rzucie. Co nie znaczy, że ma to być rzut 21-szy.

[sigma_algebra1]

Ale przecież gdy podstawić do wzoru, który napisałaś, to:

\(\displaystyle{ P(X=21)=\frac{1}{6}\cdot (\frac{5}{6})^{20}=\frac{5^{20}}{6^{21}}}\)

Druga sprawa, to z treści zadania wynika, że należy policzyć p-stwo sytuacji, że 5 wypadnie po 20-tym rzucie. Co nie znaczy, że ma to być rzut 21-szy.

no i co z tego ze tyle wynosi przy X=21?, jak to jest sprzeczne z tym co ja napisalam?, chyba liczby:

\(\displaystyle{ (\frac{5}{6})^{20}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{20}}\) są rózne prawda?, a co więcej pierwsza jest większa co tez sie zgadza z intuicją.

Druga sprawa, gdzie ja wyliczyłam ze to ma byc 21 rzut ? wyliczyłam
\(\displaystyle{ P(X>20) = \sum_{k=21}^{ \infty }P(X=k)= \sum_{k=21}^{ \infty } \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{k-1}}\)

[Janek Kos]

Oczywiście masz rację. Nie pamiętałem, że tak ładnie wygląda dystrybuanta tego rozkładu, dlatego uległem złudzeniu, że w swoich obliczeniach podstawiasz wartości do napisanego wcześniej wzoru. Mam nadzieję, że w żaden sposób nie uraziłem Cię moją uwagą i z całą powagą zwracam honor wzorowemu rozwiązaniu.

[sigma_algebra1]

Nie uraziles mnie, czlowiek nie czuje sie urazony jak ma racje Pozdrawiam