Kilka zadań - loterie, urny

[szymek12]

1. Wśród \(\displaystyle{ 10}\) losów loterii znajduje się jeden los na główną wygraną i \(\displaystyle{ 3}\) losy uprawniające do wyciągnięcia nastepnego losu. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania głównej wygranej przy zakupie jednego losu i maksymalnym wykorzystaniu uprawnień.

2. Do pustej urny włożono \(\displaystyle{ 8}\) kul białych i \(\displaystyle{ 4}\) kule czarne, a następnie wylosowano z tej urny \(\displaystyle{ 5}\) kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że stosunek liczby kul białych do liczby kul czarnych uległ zwiększeniu?

3. W turnieju piłkarskim, w którym każda drużyna gra z każdą pozostałą drużyną jeden mecz, odbędzie się \(\displaystyle{ 45}\) spotkań. Kibic pewnej drużyny wygrał bilety na dwa różne mecze. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że obejrzy:
a) dwa mecze swojej drużyny,
b) przynajmniej jeden mecz swojej drużyny?

4. Z dziesięciu par małżeńskich wybrano losowo trzech mężczyzn i trzy kobiety. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych osób:
a) jest dokładnie jedna para małżeńska,
b) są dokładnie dwie pary małżeńskie?

5. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grupie losowo wybranych \(\displaystyle{ n}\) osób i \(\displaystyle{ n \le 365}\), urodzonych w tym samym roku, który nie jest przestępny, każda osoba ma inną datę urodzenia.

Prosiłbym o przedstawienie dokładnego toku rozumowania.

[silvaran]

1.
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{10} + \frac{3}{10} \cdot (\frac{1}{9} + \frac{2}{9} \cdot ( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{7} )))}\)

po kolei:
możesz wylosować 1 wygrywający z 10 wszystkich lub 1 z 3 uprawniających do dalszej gry z 10 wszystkich i dalej losowac. teraz mozesz wylosowac 1 wygr z 9 wszyst lub 1 z 2 upr do dalszej gry z 9 wszystkich i losować dalej. i znowu 1 wygr z 8 wszystkich lub 1 upr do dalszej gry z 8. i dalej 1 wygrywający z 7 lub koniec dlatego takie zawiłe

3. 45 spotkań. czyli kombinacje 2 zespołów z n elementowego zbioru zespołów
\(\displaystyle{ {n \choose 2} = 45}\)
i po przeliczeniu mamy funkcję kwadratową:
\(\displaystyle{ n^{2} - n - 90=0}\)
wychodza dwa rozwiązania \(\displaystyle{ n=10 \ \ \vee \ \ n= -9}\)
ale jak wiemy liczba drużyn musi być większa od 0, więc zostaje nam 10

czyli każda z drużyn gra 9 meczy. w tym jego drużyna też 9
wszystkich jest 45
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {9 \choose 2} }{ {45 \choose 2} }}\)

[szymek12]

Dzięki; i prosiłbym o dalsze rozwiązania.

[silvaran]

5. wydaje mi się, że to powinno być tak:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {365 \choose n} \cdot n!}{365 ^{n} }}\)

dlaczego? postarams sie to wytłumaczyć
\(\displaystyle{ {365 \choose n}}\) bo mamy kombinacje. Każda data urodzenia ma być inna dla n osob
\(\displaystyle{ n!}\) bo te daty urodzenia mogą być różnie rozstawione dla konkretnych osób - wariacje bez powtórzeń
\(\displaystyle{ 365^{n}}\) wszystkie opcje dat urodzeń dla n osob