Rzut kostką "5" wcześniej od "6"
-
chesterllinio
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 lut 2009, o 15:20
- Płeć: Mężczyzna
Rzut kostką "5" wcześniej od "6"
Rzucamy kolejno kostką do gry.Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba oczek 5, pojawi się wcześniej od liczby oczek 6?
-
sigma_algebra1
- Użytkownik
- Posty: 384
- Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 92 razy
Rzut kostką "5" wcześniej od "6"
Juz mi sie przypomnialo jak robilam 
chyba jednak przesadzilam hmm wyglada to jedna mniej strasznie niz ponizej
no bo kurcze chyba jest że albo 6 jest przed 5 albo 5 przed 6 w koncu prawdopodobienstow ze obie liczby nigdy nie wypada jest bardzo bardzo male..tak jakby podsumowujac calosc 0,5
ale dla formalnosci zostawiam (takie roziwazanie tez jest fajne ):
ponizsze rozumowanie sprawdzilam na kilku przypadkach wyglada ze jest ok, otóż:
Niech \(\displaystyle{ B_k}\)-zdarzenie ze za pierwsza 6 pojawi sie w k-tym rzucie
\(\displaystyle{ A_k}\)-zdarzenie ze w k-1 rzutach pojawi sie co najmniej jedna 5
mamy policzyc:
\(\displaystyle{ P(A_k \cap B_k)}\)
skorzytsam z prawdopodobienstwa warunkowego
\(\displaystyle{ P(A_k \cap B_k) = P(A_k|B_k)P(B_k)}\)
\(\displaystyle{ P(B_k) = ( \frac{5}{6} )^{k-1} \cdot \frac{1}{6}}\)
teraz prawdopodobienstwo warunkowe oznacza ze wiemy ze w pierwszych k-1 nie pojawila sie 6, tworzy nam sie nowa przestrzen i nowe prawdopodobienstwo, w ktorym kazda z liczb 1,2,3,4,5 moze yc wypasc z parwdopodobienstwem \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) , chcemy policzyc prawdopodobienstwo ze wypadnie conajmniej jedna 5, najlepiej to wyznaczyc opierając się na prawdopodoieństwie zdarzenia przeciwnego, tzn ze nnie wypadnie żadna 5:
\(\displaystyle{ P(A_k|B_k) = 1- (\frac{4}{5} )^{k-1}}\)
i teraz k moze przebiegać k = 2,3,4,.....
no i mamy sume takich prawdopodobienstw:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty }P(A_k \cap B_k) = \sum_{k=2}^{ \infty }P(A_k|B_k)P(B_k) = \sum_{k=2}^{ \infty }( \frac{5}{6} )^{k-1} \cdot \frac{1}{6} (1- (\frac{4}{5} )^{k-1})}\)
i jak sie to uporzadkuje to wychodzi roznia dwoch zbieznych szeregow geometrycznych...
sprawdz prosze czy nie ma zadnego krzaka w tym rozumowaniu..
chyba jednak przesadzilam hmm wyglada to jedna mniej strasznie niz ponizej no bo kurcze chyba jest że albo 6 jest przed 5 albo 5 przed 6 w koncu prawdopodobienstow ze obie liczby nigdy nie wypada jest bardzo bardzo male..tak jakby podsumowujac calosc 0,5
ale dla formalnosci zostawiam (takie roziwazanie tez jest fajne
):ponizsze rozumowanie sprawdzilam na kilku przypadkach wyglada ze jest ok, otóż:
Niech \(\displaystyle{ B_k}\)-zdarzenie ze za pierwsza 6 pojawi sie w k-tym rzucie
\(\displaystyle{ A_k}\)-zdarzenie ze w k-1 rzutach pojawi sie co najmniej jedna 5
mamy policzyc:
\(\displaystyle{ P(A_k \cap B_k)}\)
skorzytsam z prawdopodobienstwa warunkowego
\(\displaystyle{ P(A_k \cap B_k) = P(A_k|B_k)P(B_k)}\)
\(\displaystyle{ P(B_k) = ( \frac{5}{6} )^{k-1} \cdot \frac{1}{6}}\)
teraz prawdopodobienstwo warunkowe oznacza ze wiemy ze w pierwszych k-1 nie pojawila sie 6, tworzy nam sie nowa przestrzen i nowe prawdopodobienstwo, w ktorym kazda z liczb 1,2,3,4,5 moze yc wypasc z parwdopodobienstwem \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) , chcemy policzyc prawdopodobienstwo ze wypadnie conajmniej jedna 5, najlepiej to wyznaczyc opierając się na prawdopodoieństwie zdarzenia przeciwnego, tzn ze nnie wypadnie żadna 5:
\(\displaystyle{ P(A_k|B_k) = 1- (\frac{4}{5} )^{k-1}}\)
i teraz k moze przebiegać k = 2,3,4,.....
no i mamy sume takich prawdopodobienstw:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty }P(A_k \cap B_k) = \sum_{k=2}^{ \infty }P(A_k|B_k)P(B_k) = \sum_{k=2}^{ \infty }( \frac{5}{6} )^{k-1} \cdot \frac{1}{6} (1- (\frac{4}{5} )^{k-1})}\)
i jak sie to uporzadkuje to wychodzi roznia dwoch zbieznych szeregow geometrycznych...
sprawdz prosze czy nie ma zadnego krzaka w tym rozumowaniu..