Witam. Mam takie teoretyczne zadanka:
1. Niech f,g gęstości pewnych rozkładów p-wa. Czy funkcja:
\(\displaystyle{ \frac{f+g}{2}}\) jest gęstością pewnego rozkładu p-wa? Odpowiedź uzasadnij.
2. Niech (\(\displaystyle{ \Omega,\Sigma,P}\)) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz zdarzenie \(\displaystyle{ A,B \in \Sigma}\) i \(\displaystyle{ B \subset A}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(A)}\)wiedząc, że zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) jest niezależne od siebie oraz \(\displaystyle{ P(B) > 0}\).
Suma gęstości
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Suma gęstości
Ad.1
Niech \(\displaystyle{ f(x),\ g(x)}\) będą funkcjami gęstości pewnych rozkładów p-stwa.
Wówczas, zachodzi
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\mbox{ dx}=1}\) i \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\mbox{ dx}=1}\)
Rozważmy, następnie
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)+g(x)}{2} \mbox{ dx}=\frac{1}{2}\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\mbox{ dx}+\int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\mbox{ dx}\right)=1}\)
Ponadto, jeśli \(\displaystyle{ f(x),g(x)>0}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(g(x)+f(x))>0}\)
Stąd funkcja w postaci \(\displaystyle{ \frac{f(x)+g(x)}{2}}\) jest funkcją gęstości...
Niech \(\displaystyle{ f(x),\ g(x)}\) będą funkcjami gęstości pewnych rozkładów p-stwa.
Wówczas, zachodzi
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\mbox{ dx}=1}\) i \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\mbox{ dx}=1}\)
Rozważmy, następnie
\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)+g(x)}{2} \mbox{ dx}=\frac{1}{2}\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\mbox{ dx}+\int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\mbox{ dx}\right)=1}\)
Ponadto, jeśli \(\displaystyle{ f(x),g(x)>0}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(g(x)+f(x))>0}\)
Stąd funkcja w postaci \(\displaystyle{ \frac{f(x)+g(x)}{2}}\) jest funkcją gęstości...