funkcja charakterystyczna

[MgielkaCuba]

Mam pytanie, a nie wiedzialam do jakiego dzialu sie z tym przeniesc.
Dlaczego funkcja charakterystyczna rozkladu Poissona nie jest rzeczywista?
\(\displaystyle{ e^{ \lambda (e^{{it}-1})}}\)

[Spektralny]

To oczywiście wynika z przerachowania, że funkcja charakterystyczna zmiennej o rozkładzie Poissona tyle dokładnie wynosi, ale można łatwo zobaczyć, że ta funkcja nie jest rzeczywista. Istotnie, funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ \varphi}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczna, tj. \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ -X}\) mają ten sam rozkład. Zmienna \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie Poissona nie jest symetryczna gdyż

\(\displaystyle{ 0=P(X\leqslant -2)\neq 1 - P(X\leqslant 2).}\)

Zauważ, że wartość oczekiwana symetrycznej zmiennej losowej jest zerowa.